வகுத்தல் (கணிதம்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில், வகுத்தல் என்பது, அடிப்படையான நான்கு கணிதச் செயல்முறைகளுள் ஒன்றாகும். இது பெருக்கலுக்கு எதிர்மாறானது ஆகும்.

c, b ஆகியவற்றின் பெருக்கலுக்கான விடை a, எனின் அது பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

இங்கே b பூச்சியத்துக்குச் சமமற்றது ஆயின், ab ஆல் வகுக்கும்போதான விடை c, என்பது,

÷

என எழுதப்படும்.

அதாவது,

. ஆதலால்,
ஆகும்.

மேலுள்ள கூற்றில்,

a - வகுபடு எண்
b - வகுஎண்
c - ஈவு என அழைக்கப்படும்.
அல்லது என எழுதப்படும்போது,

a ’தொகுதி’ என்றும், b ’பகுதி’ என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

முழு எண்கள் கணத்தில், கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகிய மூன்று கணிதச் செயல்களும் அடைவு பெற்றவை. ஆனால் வகுத்தல் அவ்வாறு முழுஎண்கள் கணத்தில் அடைவு பெறவில்லை. ஒரு முழுஎண்ணை மற்றொரு முழுஎண்ணால் வகுக்கும்போது எப்பொழுதுமே ஒரு முழுஎண் கிடைப்பதில்லை. மீதியும் கிடக்கலாம். அந்த மீதியையும் வகுக்கும் வகையில் எண்கள், விகிதமுறு எண்களை உள்ளடக்கியதாக நீட்டிக்கப்படுகிறது.

குறியீடு[தொகு]

பெரும்பாலும் வகுத்தலைக் குறிப்பதற்கு, ஒரு சிறு கிடைக் கோட்டுத்துண்டுக்கு கீழ் வகு எண்ணும் அக்கிடைக்கோட்டிற்கு மேற்புறம் வகுபடு எண்ணும் எழுதப்படுகிறது எடுத்துக்காட்டாக, a வகுத்தல் b என்பது கீழுள்ளவாறு எழுதப்படுகிறது:

முழுக்கூற்றையும் ஒரே கோட்டில் எழுதுவதற்காக, சாய்கோட்டைப் பயன்படுத்தி வகுத்தல் பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது:

இம்முறையில்தான் கணினி நிரல் மொழியில் வகுத்தல் குறிக்கப்படுகிறது. இதிலிருந்து மாறுபட்டு சில கணித மென்பொருட்களில் மாற்றுவரிசையில் பின்சாய்கோட்டைப் பயன்படுத்தி கீழுள்ளவாறும் எழுதப்படுகிறது:

இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட விதத்தில் கீழுள்ளவாறும் வகுத்தல் குறிக்கப்படுகிறது:

ab

ஒரு பின்னத்தைக் குறிப்பதற்கு, மேலுள்ள குறியீடுகளில் ஏதேனுமொன்றைப் பயன்படுத்தலாம்.

வகுத்தற்குறியைப் பயன்படுத்தி வகுத்தலைக் குறித்தல்:

இக்குறியீடு அடிப்படை எண்கணிதத்தில் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது. கணிப்பான்களில் வகுத்தல் செயலுக்கான விசையின் மீது அடையாளக்குறியாக இந்த வகுத்தற்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது

ஆங்கிலம் பேசாத கலாச்சாரத்தில், "a வகுத்தல் b" என்பது a : b என எழுதப்பட்டது. இக்குறியீடு 1631 இல் வில்லியம் ஆட்ரெட் என்ற கணிதவியலாளரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுப் பின்னர் லைப்னிட்சால் பிரபலமானது.[1] எனினும் ஆங்கிலத்தில் முக்காற்புள்ளி விகிதங்களுக்குப் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது ( "a is to b").

சில நாடுகளில் தொடக்கப்பள்ளி வகுப்புகளில் நெடுமுறை வகுத்தலின் போது, a வகுத்தல் b என்பது அல்லது என எழுதப்படுகிறது. அதேபோல குறுமுறை வகுத்தலின் போது என (அரிதாக) எழுதப்படுகிறது. இக்குறியீடு முதன்முறையாக மைக்கேல் ஸ்டிஃபெல் (Michael Stifel) என்ற ஜெர்மானிய கணிதவியலாளரால் 1544 இல் அவர் வெளியிட்ட புத்தகத்தில் (Arithmetica integra) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.[1]

கணித்தல்[தொகு]

கைமுறை வழிகள்[தொகு]

பெரும்பாலும் வகுத்தலானது, பல பொருட்களடங்கிய ஒரு தொகுப்பைப் ”பகிர்தல்’ என்ற கருத்தின் வழியாக அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ”ஒரு பெட்டியிலுள்ள மிட்டாய்களை குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சிறுவர்களுக்குச் சமமாகப் பகிர்தல்” இதற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாகும்.

கூறாக்கம்

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பொருட்களை குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் பல சுற்றுக்களாக சமமாகப் பகிர்வது கூறாக்கம் ஆகும். அதாவது தொடர் கழித்தலாக வகுத்தல் செய்யப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக ஒருவரிடமுள்ள 58 எழுதுகோல்களை ஐந்து பேருக்குச் சமமாகத் தரவேண்டுமெனில், முதற்சுற்றில் ஒவ்வொருவருக்கும் பத்து எழுதுகோல்கள் எனத் தந்துவிட்டு, மீதமுள்ள எட்டை இரண்டாவது சுற்றில் ஆளுக்கொன்றாகத் தர, மீண்டும் மூன்று எழுதுகோல்கள் மீதியாகும். ஆனால் அவற்றை ஐவருக்குச் சமமாகப் பிரிக்க இயலாது. அதாவது, 58 ஐ ஐந்தால் வகுக்கும்போது ஈவு 11 (10+1); மீதி 3.

நீள்/குறு வகுத்தல்

வகு எண் சிறியதாக உள்ளபோது குறு வகுத்தலும், வகுஎண் பெரியதாக உள்ளபோது நீள் வகுத்தலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தாள், எழுதுகோல் கொண்டு பெருக்கல் வாய்ப்பாடு தெரிந்தவர்கள் இவ்விரு முறைகளில் வகுத்தலைச் செய்ய முடியும்.

இம்முறைகளில்,

வகுபடு எண் ஒரு பின்னம் எனில்:

பின்னப்பகுதியை தசமபின்ன வடிவில் எழுதிக்கொண்டு, வகுபடு எண்ணின் முழுஎண் பகுதியின் ஒன்றின் இலக்கம்வரை வகுத்து முடித்தபின் ஈவில் தசமப் புள்ளியிட்டுவிட்டு, வகுபடு எண்ணின் தசமபின்னப் பகுதியையும் வகுக்க வேண்டும்.

வகுஎண் பின்னம் எனில்:

வகுஎண் பின்னப்பகுதி கொண்டிருக்கும் பட்சத்தில் அதனையும் தசமபின்னமாக மாற்றிக் கொள்ள வேண்டும். வகுஎண்ணில் தசமபின்னப் பகுதி இல்லாமல் இருப்பதற்கு, வகுபடு எண், வகுஎண் இரண்டிலும் தேவையான பொதுமாற்றத்தைச் செய்த பின்னர் வகுக்கத் தொடங்கலாம்.
மடக்கை அட்டவணை

மடக்கை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி இரு எண்களுக்கிடையேயான வகுத்தலை எளிதாகச் செய்ய முடியும். இரு எண்களை வகுப்பதற்கு,

வகுபடு எண்ணின் மடக்கை மதிப்பிலிருந்து வகுஎண்ணின் மடக்கை மதிப்பைக் கழித்து, கிடைக்கும் எண்ணிற்கு மீண்டும் எதிர்மடக்கை காண, தேவையான விடை கிடைக்கும்.
நழுவு சட்டம்

வகுத்தலுக்கு நழுவு சட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நழுவு சட்டத்தின் C அளவுகோலில் வகுஎண்ணையும், D அளவுகோலில் வகுபடு எண்ணையும் பொருத்த வேண்டும். D அளவுகோலில், C அளவுகோலின் இடதுபக்கச் சுட்டானது பொருந்துமிடம் ஈவைத் தரும். எனினும் நழுவுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துபவர் தசமபுள்ளியின் நகர்வை கவனமாகப் பார்த்துவர வேண்டும்.

எண்சட்டம்

எண்சட்டத்தைப் பயன்படுத்தியும் வகுத்தலைச் செய்யலாம்[2].

கணிப்பானும் கணினியும்[தொகு]

அறிவியல் வளர்ச்சியினால் கணிப்பான்களும் கணினிகளும் அறிமுகமான பின்னர் வகுத்தலைச் செய்வது எளிதாகி உள்ளது. இவற்றைப் பயன்படுத்தி வகுத்தலைத் துல்லியமாகவும் விரைவாகவும் செய்ய முடிகிறது.

பங்கீட்டுப் பண்பு[தொகு]

பெருக்கலைப் போன்று வகுத்தலும் கூட்டல், கழித்தலுடனான வலது-பங்கீட்டுப் பண்பை நிறைவு செய்யும்.

ஆனால் இடது பங்கீட்டுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.

யூக்ளிடிய வகுத்தல்[தொகு]

யூக்ளிடிய வகுத்தல் என்பது முழுஎண்கள் வகுத்தலின் முடிவுகளைக் காட்டும் கணித வடிவமைப்பு ஆகும்.

a, b என்ற இரு முழு எண்கள். a வகுபடுஎண், b வகுஎண். b ≠ 0 எனில்,
a = bq + r , 0 ≤ r < | b |

இதில் q (ஈவு), r (மீதி) இரண்டும் தனித்த முழுஎண்கள். (| b | = b இன் தனி மதிப்பு).

முழுஎண்களின் வகுத்தல்[தொகு]

முழுஎண்களின் வகுத்தல் அடைவு பெறாதது. அதாவது ஒரு முழுஎண்ணை மற்றொரு முழுஎண்ணால் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் ஈவு எப்பொழுதும் முழுஎண்ணாக இருக்காது. வகுஎண்ணின் முழுஎண் மடங்காக வகுபடு எண்ணாக இருக்கும்போது மட்டுமே ஈவும் ஒரு முழுஎண்ணாக இருக்கும். மேலும் பூச்சியத்தால் வகுப்பதும் வரையறுக்கப்படவில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, 26 ஐ 11 ஆல் வகுக்கும்போது, ஈவு ஒரு முழுஎண் அல்ல. இந்நிலையில் கீழ்வரும் ஐந்து விதங்களில் ஏதேனுமொன்று பயன்படுத்தப்படும்.

  1. 26 ஐ 11 ஆல் வகுக்க முடியாதென்னும்போது, வகுத்தல் ஒரு பகுதிச் சார்பாகி விடும்.
  2. தசம பின்னம் அல்லது பின்னமாக தோராயமான விடை தரப்படும். ; அல்லது வழமையாக இம்முறைதான் எண்சார் பகுப்பியலில் பின்பற்றப்படுகிறது.
  3. விடையை ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகத் தரலாம். அவ்வாறு தரும்போது அது எளிய வடிவிலிருக்குமாறு தொகுதி, பகுதி இரண்டின் மீபொவ -ஆல் அவற்றை வகுத்துச் சுருக்கி விடவேண்டும். அதாவது 26 ஐ 11 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடை: அதேபோல 52 ஐ 22 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையும் .
  4. வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையை ஈவு மற்றும் மீதி வடிவில் தரலாம்: மீதி
  5. விடையாக, முழுஎண் ஈவை மட்டும் தரலாம்:
சிலசமயங்களில் இது ’முழுஎண் வகுத்தல்’ எனப்படும்.

விகிதமுறு எண்களின் வகுத்தல்[தொகு]

ஒரு விகிதமுறு எண்ணை மற்றொரு விகிதமுறு எண்ணால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகும் (வகுஎண் பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது). விகிதமுறு எண்கள் p/q , r/s இரண்டின் வகுத்தல் வரையறை:

p , q , r , s நான்கும் முழுஎண்கள்; இந்நான்கில் p மட்டுமே பூச்சியமாக இருக்க முடியும். வகுத்தல், பெருக்கலின் எதிர்மாறு என்பதை இவ்வரையறை உறுதிப்படுத்துகிறது.

மெய்யெண்களின் வகுத்தல்[தொகு]

ஒரு மெய்யெண்ணை மற்றொரு மெய்யெண்ணால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு மெய்யெண்ணாகும் (வகுஎண் பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது). மெய்யெண் வகுத்தலின் வரையறை:

a = cb மற்றும் b ≠ 0 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே a/b = c .

பூச்சியத்தால் வகுத்தல்[தொகு]

எந்தவொரு எண்ணையும் பூச்சியத்தால் வகுப்பது (வகுஎண் பூச்சியம்) என்பது வரையறுக்கப்படவில்லை. ஏனெனில் எந்தவொரு முடிவுறு எண்ணாலும் பூச்சியத்தைப் பெருக்கினாலும் கிடைக்கும் பெருக்குத்தொகை பூச்சியமே ஆகும். பெரும்பான்மையான கணிப்பான்களில் பூச்சியத்தால் வகுத்தலை அழுத்தினால் ‘பிழை’ என்ற செய்தியே கிடைக்கும்.

சிக்கலெண்களின் வகுத்தல்[தொகு]

ஒரு சிக்கலெண்ணை மற்றொரு சிக்கலெண்ணால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு சிக்கலெண்ணாகும் (இதில் வகுஎண் பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது).

சிக்கலெண் வகுத்தலின் வரையறை:

p, q, r, s நான்கும் மெய்யெண்கள்; r , s இரண்டுமே பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது

போலார் வடிவில் தரப்படும் சிக்கலெண் வகுத்தல் வரையறை மேலுள்ள வரையறையை விட எளிய வடிவிலமையும்:

இதிலும் p, q, r, s நான்கும் மெய்யெண்கள்; r , s இரண்டுமே பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தல்[தொகு]

ஒரு களத்தில், ஒரு மாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தலை வரையறுக்க முடியும். முழுஎண்களின் வகுத்தலைப் போன்றே பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தலும் மீதியைக் கொண்டிருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தல் அல்லது தொகுமுறை வகுத்தல் முறைகளில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தலைக் கைமுறை வழியில் செய்யலாம்.

அணிகளின் வகுத்தல்[தொகு]

இரு அணிகளின் வகுத்தல் வரையறை:

A , B இரு அணிகள் எனில்:

A / B = AB−1,

இதில், B−1 = B இன் நேர்மாறு அணி

இடது மற்றும் வலது வகுத்தல்[தொகு]

அணிப் பெருக்கலுக்குப் பரிமாற்றுத்தன்மை கிடையாது என்பதால் A / B , A \ B இரண்டும் சமமில்லை.

இடது வகுத்தல் அல்லது பின்சாய்கோட்டு வகுத்தலின் வரையறை:

A \ B = A−1B.

இந்த இடது வகுத்தல் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருப்பதற்கு B−1 கண்டுபிடிக்கக் கூடியதாய் இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் கண்டிப்பாக A−1 கண்டுபிடிக்கக் கூடியதாக இருக்க வேண்டும். வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக, A / B = AB−1 என வரையறுக்கப்பட்ட வகுத்தல் வலது வகுத்தல் அல்லது சாய்கோட்டு வகுத்தல் என அழைக்கப்படுகிறது.

மேலும் A , B, C மூன்று அணிகள் எனில்:

A/(BC) = (A/C)/B
(AB)\C = B\(A\C).

போலிநேர்மாறு[தொகு]

A−1 , B−1 ஆகிய இரண்டும் அல்லது ஏதாவது ஒன்று காணமுடியாததாய் இருக்கும் சிக்கல்களைத் தவிர்க்கும் பொருட்டு, அணிகளின் வகுத்தல் போலி நேர்மாறு கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

A / B = AB+
A \ B = A+B,

இதில் A+ , B+ இரண்டும் முறையே A , B இன் போலிநேர்மாறுகள்.

நுண்கணிதம்[தொகு]

இரு சார்புகளின் வகுத்தலாக அமையும் சார்பின் வகையிடல், வகையிடலின் வகுத்தல் விதி மூலம் செய்யப்படுகிறது:

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=வகுத்தல்_(கணிதம்)&oldid=2029261" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது