வகுஎண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search

கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணின்வகுஎண் அல்லது வகுத்தி (divisor) என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழு எண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் 1 ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும். ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1 இன் வகுஎண்கள் = {1}
2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}
3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}
4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}
......
10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}

வரையறை[தொகு]

பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

  • ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு,
.[1] என்றவாறு என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்:
ஆனது ஐ வகுக்கும் என்றும்;
இன் வகுஎண் என்றும்;
ஆனது இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.
இக்கூற்றின் குறியீடு:

இந்த வரையறையின்படி என்பது உண்மையாகும்.

  • மேற்காணும் வரையறையில், .[2] என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் என்பது உண்மையாகாது.

பொதுவானவை[தொகு]

  • ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டு:

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.

  • 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
  • ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.[3]
  • ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.[3]
  • 1, −1, n , −n ஆகியவை n இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ அல்லது ”வெளிப்படையான வகுத்திகள்” (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
  • ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் வெளிப்படையெற்ற, (அ-து ஒன்றையும் அதே எண்ணும் அல்லாத) ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த பூச்சியமற்ற முழுஎண் பகு எண் எனப்படும்.
  • எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, .

42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.

  • எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, −2, 3, −3.
  • 42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • என்பதால் .
  • எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:

மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்[தொகு]

சில அடிப்படை விதிகள்[தொகு]

  • மற்றும் எனில், , அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
  • மற்றும் எனில், அல்லது .
  • மற்றும் எனில் மற்றும் .[4]

எனினும் மற்றும் எனில், என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டு:

and ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.
  • மற்றும் மீபொவ எனில், . இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
  • ஒரு பகா எண் மற்றும் எனில், அல்லது .

தகு வகுஎண்கள்[தொகு]

  • இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
  • மற்றும் இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், ஒரு பகாஎண்ணாகும். .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)

வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை[தொகு]

  • ஆனது இன் பகாக் காரணியாக்கம்

எனில்,

இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ():
  • ஒவ்வொரு இயல் எண் க்கும், .
  • இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது மற்றும் இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:
.
எடுத்துக்காட்டு:
; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது மற்றும் ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் என்பது உண்மையாகாது.

  • இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு:

எடுத்துக்காட்டு:

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. for instance, Sims 1984, p. 42 or Durbin 1992, p. 61
  2. Herstein 1986, p. 26
  3. 3.0 3.1 இக்கூற்றுக்கு 0|0 என்பதை உண்மையாகக் கொள்ளும் முதல்வரையறையை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அல்லது கூற்றினை பூச்சியமற்ற முழுஎண்களுக்கெனக் கொள்ள வேண்டும்
  4. . Similarly,

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  • Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (3rd ). New York: Wiley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-471-51001-7. http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html. 
  • Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
  • Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
  • Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
  • Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9
"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=வகுஎண்&oldid=2746504" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது