வகுஎண்
கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணின்வகுஎண் அல்லது வகுத்தி (divisor) என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழு எண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் 1 ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும். ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.
எடுத்துக்காட்டுகள்:
- 1 இன் வகுஎண்கள் = {1}
- 2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}
- 3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}
- 4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}
- ......
- 10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}
வரையறை
[தொகு]பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:
- ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு,
- .[1] என்றவாறு என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்:
- ஆனது ஐ வகுக்கும் என்றும்;
- இன் வகுஎண் என்றும்;
- ஆனது இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.
- இக்கூற்றின் குறியீடு:
இந்த வரையறையின்படி என்பது உண்மையாகும்.
- மேற்காணும் வரையறையில், .[2] என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் என்பது உண்மையாகாது.
பொதுவானவை
[தொகு]- ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.
- எடுத்துக்காட்டு:
வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.
- 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
- ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.[3]
- ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.[3]
- 1, −1, n , −n ஆகியவை n இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ அல்லது ”வெளிப்படையான வகுத்திகள்” (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
- ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் வெளிப்படையெற்ற, (அ-து ஒன்றையும் அதே எண்ணும் அல்லாத) ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த பூச்சியமற்ற முழுஎண் பகு எண் எனப்படும்.
- எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டுகள்
[தொகு]- என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, .
42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.
- எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, −2, 3, −3.
- 42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- என்பதால் .
- எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:
மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்
[தொகு]சில அடிப்படை விதிகள்
[தொகு]- மற்றும் எனில், , அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
- மற்றும் எனில், அல்லது .
- மற்றும் எனில் மற்றும் .[4]
எனினும் மற்றும் எனில், என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.
எடுத்துக்காட்டு:
- and ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.
- மற்றும் மீபொவ எனில், . இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
- ஒரு பகா எண் மற்றும் எனில், அல்லது .
தகு வகுஎண்கள்
[தொகு]- இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
- மற்றும் இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், ஒரு பகாஎண்ணாகும். .
அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)
வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை
[தொகு]- ஆனது இன் பகாக் காரணியாக்கம்
எனில்,
- இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ():
- ஒவ்வொரு இயல் எண் க்கும், .
- இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது மற்றும் இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:
- .
- எடுத்துக்காட்டு:
- ; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)
எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது மற்றும் ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் என்பது உண்மையாகாது.
- இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு:
எடுத்துக்காட்டு:
குறிப்புகள்
[தொகு]- ↑ for instance, Sims 1984, p. 42 or Durbin 1992, p. 61
- ↑ Herstein 1986, p. 26
- ↑ 3.0 3.1 இக்கூற்றுக்கு 0|0 என்பதை உண்மையாகக் கொள்ளும் முதல்வரையறையை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அல்லது கூற்றினை பூச்சியமற்ற முழுஎண்களுக்கெனக் கொள்ள வேண்டும்
- ↑ . Similarly,
மேற்கோள்கள்
[தொகு]- Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (3rd ed.). New York: Wiley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-51001-7.
- Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-20860-7; section B.
- Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-02-353820-1
- Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
- Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-09846-9