வகுஎண்

கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணின்வகுஎண் அல்லது வகுத்தி (divisor) என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழு எண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் 1 ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும். ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1 இன் வகுஎண்கள் = {1}

2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}

3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}

4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}

......

10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}

வரையறை

பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

• $m,$ $n$ ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு,

$mk=n$. என்றவாறு $k$ என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்:

$m$ ஆனது $n$ஐ வகுக்கும் என்றும்;

$n$ இன் வகுஎண் $m$ என்றும்;

$n$ ஆனது $m$ இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.

இக்கூற்றின் குறியீடு:

$m\mid n,$

இந்த வரையறையின்படி $0\mid 0$ என்பது உண்மையாகும்.

• மேற்காணும் வரையறையில், $m\neq 0$. என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் $0\mid 0$ என்பது உண்மையாகாது.

பொதுவானவை

• ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.

• 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
• ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.
• ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.
• 1, −1, n , −n ஆகியவை n இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ அல்லது ”வெளிப்படையான வகுத்திகள்” (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
• ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் வெளிப்படையெற்ற, (அ-து ஒன்றையும் அதே எண்ணும் அல்லாத) ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த பூச்சியமற்ற முழுஎண் பகு எண் எனப்படும்.
• எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $7\times 6=42$ என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, $7\mid 42$.

42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.

• எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, −2, 3, −3.
• 42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• $5\times 0=0$ என்பதால் $5\mid 0$.
• எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:

$A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$

மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்

சில அடிப்படை விதிகள்

• $a\mid b$ மற்றும் $b\mid c$ எனில், $a\mid c$, அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
• $a\mid b$ மற்றும் $b\mid a$ எனில், $a=b$ அல்லது $a=-b$.
• $a\mid b$ மற்றும் $a\mid c$ எனில் $a\mid (b+c)$ மற்றும் $a\mid (b-c)$.

எனினும் $a\mid b$ மற்றும் $c\mid b$ எனில், $(a+c)\mid b$ என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டு:

$2\mid 6$ and $3\mid 6$ ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.

• $a\mid bc$ மற்றும் மீபொவ$(a,b)=1$ எனில், $a\mid c$. இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
• $p$ ஒரு பகா எண் மற்றும் $p\mid ab$ எனில், $p\mid a$ அல்லது $p\mid b$.

தகு வகுஎண்கள்

• $n$ இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது $n$ அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். $n$ ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் $n$ இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
• $n>1$ மற்றும் $n$ இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், $n$ ஒரு பகாஎண்ணாகும். .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)

வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை

• $n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}$ ஆனது $n$ இன் பகாக் காரணியாக்கம்

எனில்,

$n$ இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ($d(n)$):

$d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),$

• ஒவ்வொரு இயல் எண் $n$ க்கும், $d(n)<2{\sqrt {n}}$.
• $n$ இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது $m$ மற்றும் $n$ இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:

$d(mn)=d(m)\times d(n)$.

எடுத்துக்காட்டு:

$d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)$; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது $m$ மற்றும் $n$ ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் $d(mn)=d(m)\times d(n)$ என்பது உண்மையாகாது.

• $n$ இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு: $\sigma (n)$

எடுத்துக்காட்டு: $\sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42$

மேற்கோள்கள்

• Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (3rd ). New York: Wiley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-471-51001-7. http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html. 
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-20860-7; section B.
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9