வகுஎண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணின்வகுஎண் அல்லது வகுத்தி (divisor) என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழுஎண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் 1 ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும். ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1 இன் வகுஎண்கள் = {1}
2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}
3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}
4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}
......
10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}

வரையறை[தொகு]

பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

  • ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு,
.[1] என்றவாறு என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்:
ஆனது ஐ வகுக்கும் என்றும்;
இன் வகுஎண் என்றும்;
ஆனது இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.
இக்கூற்றின் குறியீடு:

இந்த வரையறையின்படி என்பது உண்மையாகும்.

  • மேற்காணும் வரையறையில், .[2] என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் என்பது உண்மையாகாது.

பொதுவானவை[தொகு]

  • ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் நேர்முழுஎண்களாகவோ அல்லது எதிர்முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது நேர்வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டு:

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய நேர்வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.

  • 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
  • ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.[3]
  • ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.[4]
  • 1, −1, n , −n ஆகியவை n இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
  • ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் மிகஎளிய வகுஎண்ணற்ற ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த முழுஎண்பூச்சியமற்ற முழுஎண் பகு எண் எனப்படும்.
  • எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, .

42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.

  • எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, −2, 3, −3.
  • 42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • என்பதால் .
  • எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:

மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்[தொகு]

சில அடிப்படை விதிகள்[தொகு]

  • மற்றும் எனில், , அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
  • மற்றும் எனில், அல்லது .
  • மற்றும் எனில் மற்றும் .[5]

எனினும் மற்றும் எனில், என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டு:

and ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.
  • மற்றும் மீபொவ எனில், . இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
  • ஒரு பகா எண் மற்றும் எனில், அல்லது .

தகு வகுஎண்கள்[தொகு]

  • இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது அல்லாத அதன் ஒரு நேர்வகுஎண் ஆகும். ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
  • மற்றும் இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், ஒரு பகாஎண்ணாகும். .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே பகாஎண்)

வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை[தொகு]

  • ஆனது இன் பகாக் காரணியாக்கம்

எனில்,

இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ():
  • ஒவ்வொரு இயல் எண் க்கும், .
  • இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது மற்றும் இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:
.
எடுத்துக்காட்டு:
; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது மற்றும் ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் என்பது உண்மையாகாது.

  • இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு:

எடுத்துக்காட்டு:

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. for instance, Sims 1984, p. 42 or Durbin 1992, p. 61
  2. Herstein 1986, p. 26
  3. இக்கூற்றுக்கு 0|0 என்பதை உண்மையாகக் கொள்ளும் முதல்வரையறையை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அல்லது கூற்றினை பூச்சியமற்ற முழுஎண்களுக்கெனக் கொள்ள வேண்டும்
  4. இக்கூற்றுக்கு 0|0 என்பதை உண்மையாகக் கொள்ளும் முதல்வரையறையை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அல்லது கூற்றினை பூச்சியமற்ற முழுஎண்களுக்கெனக் கொள்ள வேண்டும்
  5. . Similarly,

மேற்கோள்கள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=வகுஎண்&oldid=1964981" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது