சமானம், மாடுலோ n

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
மாடுலோ கணித ஆய்வுகளைப் பற்றி காஸ் வெளியிட்ட நூலின் முதல் பதிப்பு. புத்தகத்தின் தலைப்பு டிஸ்க்விசிசனே அரித்மெட்டிக்கே என்பதாகும்.

கணிதத்தில், எண் கோட்பாட்டில், சமானம், மாடுலோ n (Congruence modulo n) என்பது சுழற்சி அடிப்படையில் எண்களைக் கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு அடிப்படைக் கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்னும் ஜெர்மானியக் கணிதப் பேரறிஞரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

சமான எண்கணிதம் பயன்படும் ஓர் அன்றாட வழக்கு[தொகு]

காலம் கணக்கிட உதவும் இக்கடிகாரம் மாடுலோ 12 இன் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.

இன்றைய நேரம் இப்பொழுது காலை 9 மணியென்றால், இன்னும் 8 மணிநேரம் கழித்து மணி 17 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வதில் தவறொன்றுமில்லை. ஆனாலும் மக்கள் அதை மணி மாலை 5 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வார்கள், அப்படிப் புரிந்தும் கொள்வார்கள். இங்கு நாம் நம்மை அறியாமலே ஒரு சமான எண்கணிதம் கணிக்கிறோம். அதாவது, 9 + 8 =17 ஆக இருந்தாலும் 17 -12 = 5, என்று 12 மணி ஆனவுடன் அதைத் 'தள்ளிவிட்டு', மறுபடியும் 1 இலிருந்து தொடங்கி 1,2,3, என்று எண்ணுகிறோம். இதுதான் சமான எண்கணிதம் (Congruence arithmetic).

வரலாறு[தொகு]

சமான எண்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துகள் யூக்ளிடால் அவரது படைப்பான, எலிமென்ட்சின் ஏழாவது பாகத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

கணிதத்தில் வரையறை[தொகு]

முழு எண்களானால் யும் யும் மாடுலோ சமானம் பெற்றிருக்கின்றன என்பதற்கு இலக்கணம்:

  • எண் இன் முழு எண் பெருக்காக இருக்கும்.(அ-து, n ஆல் சரியாக வகுபடும்)

இதற்குக்குறியீடு:

(mod )

இதன் உச்சரிப்பு:

சமானம் , மாடுலோ

இங்கு 'mod' என்ற ஆங்கிலச்சொற்குறி, 'modulus' (மட்டு) என்ற சொல்லுக்காக நிற்கிறது. 'மாடுலோ' என்ற பயன்பாடும் அச்சொல்லிலிருந்து உருவானது. இச்சொல் உலகில் எல்லா மொழிகளிலும் இப்படியே பயன்படுத்தப்பட்டு வருவதாகத் தெரிகிறது.

உடன்விளைவு[தொகு]

'சமானம் மாடுலோ ' ஒரு சமான உறவு. ஏனென்றால்,

  • அது ஒரு சமச்சீர் உறவு. அதாவது, (mod ) (mod )
  • அது ஒரு கடப்பு உறவு. அதாவது, (mod ) மற்றும் (mod ) (mod )

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • (mod 12) ஏனென்றால், 17 - 5 = 12
  • (mod 7) ஏனென்றால், 365 - 1 = 364; இது 7 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
  • (mod 3) ஏனென்றால், 27 - 0 =27; இது 3 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
  • (mod 6) ஏனென்றால், 100 - 34 = 66; இது 6 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
  • (mod 5) ஏனென்றால் -13 -2 = -15; இது 5 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது

முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளை வேறுவிதமாகவும் பார்க்கலாம்.

17 ஐ 12 ஆல் வகுத்தால் மீதி 5; அல்லது, 17ம் 5ம் 12 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன
365 ஐ 7 ஆல் வகுத்தால் மீதி 1; அல்லது, 365ம் 1ம் 7ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.
27 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0; அல்லது 27ம் 0வும் 3 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.
100 ஐ 6 ஆல் வகுத்தால் 34 மீதி வராது. ஆனாலும், 100, 34 இரண்டும் 6 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.

இந்த இரண்டாவது பண்பைக்கொண்டு சமானம் மாடுலோ n க்கு இப்படியும் இலக்கணம் வரையலாம்: n ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணாகவும், a, b இரண்டும் எதிர்ம எண்களாக இல்லாமலும் இருந்தால் (mod ) க்கு இன்னொரு இலக்கணம்:

  • யும் யும் ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கும்.

எனினும் a, n ஆல் வகுபடும்போது b மீதமாக வராத பட்சத்தில், இந்தச் சமானத்தை கணினிப் பொறியாளர்கள்

(modulo ) என்று எழுதுகிறார்கள். ஆக (modulo 6)

மேலும், (mod ) என்று சொல்வதற்குப் பொருள்: a என்ற எண், n ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

எல்லாப்பட்சத்திலும் (mod ) முழு எண்

மற்ற விளைவுகள்[தொகு]

  • (mod ), மற்றும் (mod ) என்றால்
(mod )
(mod )
ஒரு முழு எண்ணானால், (mod )
(mod )
ஒரு நேர்ம முழு எண்ணானால், (mod )

இவ்விளைவுகளெல்லாம் சேர்ந்ததுதான் மாடுலோ எண் கணிதம் (modular arithmetic) எனப்படும்.

எச்சத் தொகுதிகள்[தொகு]

மட்டு n இன் ஒவ்வொரு எச்சத் தொகுதியையும் அத்தொகுதிக்குரிய எந்தவொரு உறுப்பைக் கொண்டும் அடையாளப்படுத்தலாம். எனினும் அத்தொகுதிக்குரிய மிகச்சிறிய எதிர்மமில்லா முழுஎண்ணே அத்தொகுதியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மட்டு n இன் இரு வெவ்வேறு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்புகள் மட்டு n ஐப் பொறுத்து சமானமானதாக இருக்காது. மேலும், ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் மட்டு n இன் ஏதாவது ஒரேயொரு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்பாக மட்டுமே இருக்கும்.[1]

{0, 1, 2, ..., n−1} என்ற முழுஎண் கணம், மட்டு n இன் ”மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி” எனவும், மட்டு n ஐப் பொறுத்து ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இல்லாத n முழுஎண்களின் கணம், மட்டு n இன் ”முழுமையான எச்சத் தொகுதி” எனவும் அழைக்கப்படும்..

மீச்சிறு எச்சத் தொகுதியானது முழுமையான எச்சத்தொகுதியாகவும் இருக்கும். மட்டு n இன் எச்சத் தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஒரு உறுப்பைக் கொண்டதாக முழுமையான எச்சத் தொகுதி அமையும்.[2]

மட்டு 4 இன் மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி: {0, 1, 2, 3}.
மட்டு 4 இன் முழுமையான எச்சத் தொகுதிகளில் சில:
  • {1, 2, 3, 4}
  • {13, 14, 15, 16}
  • {−2, −1 ,0, 1}
  • {−13, 4, 17, 18}
  • {−5, 0, 6, 21}
  • {27, 32, 37, 42}
மட்டு 4 இன் முழுமையற்ற எச்சத் தொகுதிகளில் சில:
  • {−5, 0, 6, 22} (மட்டு 4 ஐப் பொறுத்து 6, 22 க்குச் சமானம் இல்லை)
  • {5, 15} (மட்டு 4 இன் எச்சத்தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு உறுப்பு என ஒரு மட்டு 4 இன் ஒரு முழுமையான எச்சத் தொகுதி 4 உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்)

முற்றிசைவுப் பகுதிகள்[தொகு]

சமானம் மட்டு n ஒரு சமான உறவாகும். ஏதேனுமொரு முழு எண் a க்குரிய சமானப் பகுதி

.

இது மட்டு n ஐப் பொறுத்து a க்குச் சமானமாக உள்ள முழுஎண்களைக் கொண்ட கணமாகும். இக்கணம்  மட்டு n இன் ”முற்றிசைவுப் பகுதி” அல்லது ”எச்சப் பகுதி” அல்லது ”மட்டு n க்கான முழுஎண் a இன் எச்சம்” என அழைக்கப்படுகிறது. n அறியப்பட்ட நிலையில் இதனைச் சுருக்கமாக, எனவும் குறிக்கலாம்.

முழுஎண்கள் மட்டு n[தொகு]

மட்டு n க்கான a இன் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் அனைத்தையும் கொண்ட கணம், ”முழுஎண்கள் மட்டு n கணம்” என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு , அல்லது .

முழுஎண்கள் மட்டு n கணத்தின் வரையறை:

n≠0 எனில், n உறுப்புகள் கொண்டிருக்கும்:

When n = 0 எனில், என்பதால் உடன் சமஅமைவியம் கொண்டதாக இருக்கும்.

இல் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=சமானம்,_மாடுலோ_n&oldid=1974993" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது