வகையிடலின் வகுத்தல் விதி

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் வகுத்தல் விதி அல்லது சுருக்கமாக வகுத்தல் விதி (quotient rule) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் விகிதமுறு சார்பாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காணும் முறையை இவ்விதி தருகிறது.[1][2][3]

இவ்விதியின் கூற்று:

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0 எனில் அதன் வகைக்கெழு,
f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.

இவ்விதியை இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கும் நீட்டிக்கலாம்:

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0 என்பதை

f(x)=g(x)(h(x))^{-1}

என எடுத்துக் கொண்டு வகையிடலின் பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி இருமுறை வகையிட:

f''(x)=\frac{g''(x)[h(x)]^2-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]^2-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^3}.

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

 y = \frac{u}{v}\,,
\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{du}}{v^2}\,

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • (4x - 2)/(x^2 + 1) இன் வகைக்கெழு:
\begin{align}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}\right] &= \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\\
& = \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end{align}
  • \frac{sinx}{x^2};  x \not = 0 இன் வகைக்கெழு:
\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}
  • f(x) = \frac{2x^2}{x^3} இன் வகைக்கெழு:
g(x) = 2x^2; h(x) = x^3
g'(x) = 4x; h'(x) = 3x^2.

வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்த:

f'(x) = \frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2} = \frac{4x^4 - 6x^4}{x^6} = \frac{-2x^4}{x^6} = -\frac{2}{x^2}

இச் சார்பை அடுக்குக்குறி விதிகளையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறும் வகையிடலாம்:

f(x) = \frac{2x^2}{x^3} = \frac{2}{x} = 2x^{-1}
f'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}

குறைபாடு[தொகு]

ஒரு விகிதமுறு சார்பின் தொகுதியிலுள்ள சார்பும் பகுதியிலுள்ள சார்பும் தனித்தனியே வகையிட முடியாதவையாக இருந்தால் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி அச்சார்பை வகையிட முடியாது. ஆனால் அந்த விகிதமுறு சார்பு முழுமையாகத் தனியே வகையிடக் கூடியதாக இருக்குலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1},

|x| என்பது x இன் தனிமதிப்பு.

இச்சார்பை f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1} = 1 என எடுத்துக்கொண்டால் இதனை வகையிடுதல் சாத்தியமாகும்.

இதன் வகைக்கெழு,

f'(x) = 0

ஆனால் இதே சார்பை,  x = 0 இல் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட முயன்றால், வரையறுக்கப்படாத மதிப்பே விடையாகக் கிடைக்கும். ஏனெனில் |x| இன் மதிப்பு x = 0 இல் வரையறுக்கப்படவில்லை.

நிறுவல்கள்[தொகு]

அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்[தொகு]

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)};\qquad h(x) \neq 0
g, h இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்:
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)- f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left(\frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)

தொகுதியில் g(x)h(x) ஐக் கூட்டிக் கழிக்க,

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}
= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)\lim_{\Delta x \to 0}h( x+\Delta x)}

வகைக்கெழுக்களின் வரையறைப்படி,

= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்[தொகு]

 \frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]

இந்த முற்றொருமையை x ஐப் பொறுத்து வகையிட:

\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]

வலப்புற வகையிடலுக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \right) \right]

வலப்புறம், பெருக்கிச் சுருக்க:

\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right]
\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}

பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்[தொகு]

 y = \frac{u}{v} எனில்,

 y = \frac{u}{v} = uv^{-1}.

பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி வகையிட,

\frac{dy}{dx} = u'v^{-1} - v^{-2}uv' = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^{2}}

தொகுதி, பகுதி இரண்டையும் v ஆல் பெருக்க வகையிடலின் வகுத்தல் விதி கிடைக்கிறது.

\frac{dy}{dx} = \frac{vu'}{v^2} - \frac{uv'}{v^{2}} = \frac{vu' - uv'}{v^{2}}

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4. 
  3. Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2. 
  • கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 82. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm