வகையிடல் விதிகள் (differentiation rules ) என்பவை நுண்கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் விதிமுறைகள் ஆகும். இக்கட்டுரையில் அத்தைகையப் பல்வேறு விதிகளும் தொகுத்தளிக்கப்பட்டுள்ளன.
[ தொகு ] கீழ்க்காணும் விதிகளில் தரப்பட்டச் சார்புகளின் தன்மை குறிப்பிடப்படாமல் இருந்தால், அவை மெய்யெண்களில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புகளாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனினும் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட அனைத்துச் சார்புகளுக்கும் (சிக்கலெண்கள் உட்பட) இவை உண்மையாக அமையும்.[ 1] [ 2] [ 3]
[ தொகு ] f மற்றும் g எவையேனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் ; a மற்றும் b மெய்யெண்கள் எனில்,
h (x ) = af (x ) + bg (x )x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
h
′
(
x
)
=
a
f
′
(
x
)
+
b
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}
இது லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் :
d
(
a
f
+
b
g
)
d
x
=
a
d
f
d
x
+
b
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}
சிறப்பு வகைகள்:
(
a
f
)
′
=
a
f
′
{\displaystyle (af)'=af'\,}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}
வகையிடலின் பெருக்கல் விதி , இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம் லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.
தரப்பட்ட இரு சார்புகள் f , g எனில்,
h (x ) = f (x ) g (x ) -சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}
இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
d
(
f
g
)
d
x
=
d
f
d
x
g
+
f
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
வகையிடலின் சங்கிலி விதி , இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதிப்படி,
h (x ) = f (g (x )) எனும் சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x)\,}
இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
d
h
d
x
=
d
f
d
g
d
g
d
x
{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}\,}
இது பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது.
d
h
d
x
=
d
h
d
g
d
g
d
x
{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}\,}
[ தொகு ] இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.
f சார்பின் நேர்மாறு சார்பு g எனில்,
g (f (x )) = x f (g (y )) = y
g
′
=
1
f
′
∘
g
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}\,}
இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
d
x
d
y
=
1
d
y
/
d
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}}
வகையிடலின் அடுக்கு விதியின் கூற்று:
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}}
n ஒரு முழு எண் எனில்:
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
.
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}
இவ்விதியின் சிறப்பு வகைகள்:
f ஒரு மாறிலிச் சார்பு ,
f
(
x
)
=
c
{\displaystyle f(x)=c}
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
f
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle f'(x)=1}
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
f
′
(
x
)
=
a
{\displaystyle f'(x)=a}
இவ்விதியையும் வகையிடலின் நேரியல்பையும் இணைத்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் வகையிடலாம்.
h
(
x
)
=
1
f
(
x
)
{\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}\ }
f (x ) பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் அவசியம்) எனில்:
h
′
(
x
)
=
−
f
′
(
x
)
[
f
(
x
)
]
2
{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{[f(x)]^{2}}}\ }
இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
d
(
1
/
f
)
d
x
=
−
1
f
2
d
f
d
x
{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}\,}
அடுக்கு விதியையும் சங்கிலி விதியையும் இணைத்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
f , g என்பன வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்:
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
g பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.)பெருக்கல் விதியையும் தலைகீழி விதியையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பெறலாம். மறுதலையாக, இவ்விதியிலிருந்து f (x ) = 1 எனும் சிறப்பு வகையாகத் தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
[ தொகு ] f , g என்பன இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
,
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
இருபுறமும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருத்தல் அவசியம்.
சிறப்பு வகைகள்:
a ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் மற்றும் x நேர்மம் எனில்:
f
(
x
)
=
x
a
{\displaystyle f(x)=x^{a}}
x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
f
′
(
x
)
=
a
x
a
−
1
{\displaystyle f'(x)=ax^{a-1}}
g (x ) = −1 எனில் இவ்விதியிலிருந்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
(
c
a
x
)
′
=
c
a
x
ln
c
⋅
a
c
>
0
{\displaystyle \left(c^{ax}\right)'={c^{ax}\ln c\cdot a}\qquad c>0}
இச்சமன்பாடு, c இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; c < 0 என்பது சிக்கலெண்ணைத் தரும்.
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}}
(
log
c
x
)
′
=
1
x
ln
c
c
>
0
,
c
≠
1
{\displaystyle \left(\log _{c}x\right)'={1 \over x\ln c}\qquad c>0,c\neq 1}
மேலுள்ள சமன்பாடு c இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; ஆனால் சிக்கலெண்ணைத் தரும்.
(
ln
x
)
′
=
1
x
x
≠
0
{\displaystyle \left(\ln x\right)'={1 \over x}\qquad x\neq 0}
(
ln
|
x
|
)
′
=
1
x
{\displaystyle \left(\ln |x|\right)'={1 \over x}}
(
x
x
)
′
=
x
x
(
1
+
ln
x
)
{\displaystyle \left(x^{x}\right)'=x^{x}(1+\ln x)}
d
d
x
[
ln
(
f
(
x
)
)
]
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[\ln(f(x))]={\frac {f'(x)}{f(x)}}}
மடக்கையின் அடிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்த,
d
d
x
log
b
(
x
)
=
d
d
x
ln
(
x
)
ln
(
b
)
=
1
x
ln
(
b
)
=
log
b
(
e
)
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}}
மடக்கை வகையிடல் என்பது ஒரு சார்பின் மடக்கையை வகையிடுவதாகும்.
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
f நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும்.[ தொகு ] முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
tan
x
)
′
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
(
sec
x
)
′
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
csc
x
)
′
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}
(
arccsc
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
cot
x
)
′
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}
(
arccot
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}
[ தொகு ]
(
sinh
x
)
′
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(
arsinh
x
)
′
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
cosh
x
)
′
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(
arcosh
x
)
′
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
tanh
x
)
′
=
sech
2
x
{\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}
(
artanh
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
(
sech
x
)
′
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
(
arsech
x
)
′
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
csch
x
)
′
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
(
arcsch
x
)
′
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
(
coth
x
)
′
=
−
csch
2
x
{\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
(
arcoth
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
[ தொகு ]
காமா சார்பு
Γ
′
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
ln
t
d
t
{\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}
=
Γ
(
x
)
(
∑
n
=
1
∞
(
ln
(
1
+
1
n
)
−
1
x
+
n
)
−
1
x
)
=
Γ
(
x
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle =\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}
ரீமன் சீட்டா சார்பியம்
ζ
′
(
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
ln
n
n
x
=
−
ln
2
2
x
−
ln
3
3
x
−
ln
4
4
x
−
⋯
{\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}
=
−
∑
p
prime
p
−
x
ln
p
(
1
−
p
−
x
)
2
∏
q
prime
,
q
≠
p
1
1
−
q
−
x
{\displaystyle =-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}
[ தொகு ] x ஐப் பொறுத்து வகையிட வேண்டிய சார்பு-
F
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
;
{\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt;}
a
(
x
)
≤
t
≤
b
(
x
)
,
{\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}
(
t
,
x
)
{\displaystyle (t,x)\,}
f
(
x
,
t
)
,
{\displaystyle f(x,t),\,}
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,}
t
{\displaystyle t\,}
x
{\displaystyle x\,}
தொடர்ச்சியானவையாகவும் ;
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)\,}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)\,}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt,\,}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,}
இவ்வாய்ப்பாடு லைப்னிட்சின் தொகையீட்டு விதி யின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். மேலும் இதனை நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.
n ஆம் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்[ தொகு ] [ தொகு ] f , g இரண்டும் n தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:
d
n
d
x
n
[
f
(
g
(
x
)
)
]
=
n
!
∑
{
k
m
}
f
(
r
)
(
g
(
x
)
)
∏
m
=
1
n
1
k
m
!
(
g
(
m
)
(
x
)
)
k
m
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}
இங்கு
r
=
∑
m
=
1
n
−
1
k
m
,
{\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m},}
{
k
m
}
{\displaystyle \{k_{m}\}}
∑
m
=
1
n
m
k
m
=
n
{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}
டியோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின் எதிர்மமற்ற முழு எண் தீர்வுகள் அனைத்தையும் கொண்டவை[ தொகு ] வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவமே பொது லைப்னிட்ஸ் விதியாகும் .
f , g இரண்டும் n தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:
d
n
d
x
n
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
d
n
−
k
d
x
n
−
k
f
(
x
)
d
k
d
x
k
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}
↑ Calculus (5th edition) , F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-07-150861-2 .↑ Advanced Calculus (3rd edition) , R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-07-162366-7 .↑ Complex Variables , M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-07-161569-3
[ தொகு ] Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition) , S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-07-154855-7 .The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-57507-2 .Mathematical methods for physics and engineering , K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-86153-3 NIST Handbook of Mathematical Functions , F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-19225-5 .
![{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{[f(x)]^{2}}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928dc0e90661d7fcb313b64beb82f3ca4f3a8783)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[\ln(f(x))]={\frac {f'(x)}{f(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0affba69d1f4c1ac3cffe19c46e644fb705ce46f)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db9fc6a48b3658dc330625f3c027300228b82b0)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63405be1615e41e5620d8b0c45f48b7dd7e6f2ef)