வகையிடல் விதிகள்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

வகையிடல் விதிகள் (differentiation rules) என்பவை நுண்கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் விதிமுறைகள் ஆகும். இக்கட்டுரையில் அத்தைகையப் பல்வேறு விதிகளும் தொகுத்தளிக்கப்பட்டுள்ளன.

பொருளடக்கம்

வகையிடலின் அடிப்படை விதிகள்[தொகு]

கீழ்க்காணும் விதிகளில் தரப்பட்டச் சார்புகளின் தன்மை குறிப்பிடப்படாமல் இருந்தால், அவை மெய்யெண்களில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புகளாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனினும் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட அனைத்துச் சார்புகளுக்கும் (சிக்கலெண்கள் உட்பட) இவை உண்மையாக அமையும்.[1][2][3]

வகையிடலின் நேரியல்பு[தொகு]

f மற்றும் g எவையேனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள்; a மற்றும் b மெய்யெண்கள் எனில்,

h(x) = af(x) + bg(x) என்ற சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

இது லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

சிறப்பு வகைகள்:

  • வகையிடலின் கழித்தல் விதி

பெருக்கல் விதி[தொகு]

வகையிடலின் பெருக்கல் விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம் லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

தரப்பட்ட இரு சார்புகள் f , g எனில்,

h(x) = f(x) g(x) -சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

சங்கிலி விதி[தொகு]

முதன்மை கட்டுரை: சங்கிலி விதி

வகையிடலின் சங்கிலி விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதிப்படி,

h(x) = f(g(x)) எனும் சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

இது பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது.

நேர்மாறுச் சார்பு விதி[தொகு]

முதன்மை கட்டுரை: நேர்மாறுச் சார்பு விதி

இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.

f சார்பின் நேர்மாறு சார்பு g எனில்,

g(f(x)) = x, f(g(y)) = y, என இருந்தால்:

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

அடுக்கு விதி[தொகு]

முதன்மை கட்டுரை: வகையிடலின் அடுக்கு விதி

வகையிடலின் அடுக்கு விதியின் கூற்று: , n ஒரு முழு எண் எனில்:

இவ்விதியின் சிறப்பு வகைகள்:

  • மாறிலி விதி:

f ஒரு மாறிலிச் சார்பு, எனில்:

எனில்,

இவ்விதியையும் வகையிடலின் நேரியல்பையும் இணைத்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் வகையிடலாம்.

தலைகீழி விதி[தொகு]

முதன்மை கட்டுரை: வகையிடலின் தலைகீழி விதி
( f (x) பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் அவசியம்) எனில்:

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

அடுக்கு விதியையும் சங்கிலி விதியையும் இணைத்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

வகுத்தல் விதி[தொகு]

f , g என்பன வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்:

, (g பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.)

பெருக்கல் விதியையும் தலைகீழி விதியையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பெறலாம். மறுதலையாக, இவ்விதியிலிருந்து f(x) = 1 எனும் சிறப்பு வகையாகத் தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அடுக்குவிதி[தொகு]

f , g என்பன இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,

இருபுறமும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருத்தல் அவசியம்.

சிறப்பு வகைகள்:

  • a ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் மற்றும் x நேர்மம் எனில்:
என்பதன் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
  • g(x) = −1 எனில் இவ்விதியிலிருந்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

அடுக்குக்குறிச் சார்பு, மடக்கைச் சார்பின் வகையீடுகள்[தொகு]

இச்சமன்பாடு, c இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; c < 0 என்பது சிக்கலெண்ணைத் தரும்.

மேலுள்ள சமன்பாடு c இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; ஆனால் சிக்கலெண்ணைத் தரும்.

மடக்கையின் அடிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்த,

மடக்கை வகையிடல்[தொகு]

மடக்கை வகையிடல் என்பது ஒரு சார்பின் மடக்கையை வகையிடுவதாகும்.

இங்கு f நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும்.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்[தொகு]

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

மீவளையச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்[தொகு]

சிறப்புச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்[தொகு]

காமா சார்பு

ரீமன் சீட்டா சார்பியம்

தொகையீடுகளின் வகைக்கெழுக்கள்[தொகு]

x ஐப் பொறுத்து வகையிட வேண்டிய சார்பு-

இரண்டையும் உள்ளடக்கிய தளத்தின் ஒரு பகுதியில், என்ற இரு சார்புகளும் மற்றும் களில் தொடர்ச்சியானவையாகவும்;

இடைவெளியில், சார்புகள் and இரண்டும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாகவும் தொடர்ச்சியான வகைக்கெழுக்களும் கொண்டிருந்தால்:

இவ்வாய்ப்பாடு லைப்னிட்சின் தொகையீட்டு விதியின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். மேலும் இதனை நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

n ஆம் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்[தொகு]

ஃபா டி புரூனோவின் வாய்ப்பாடு[தொகு]

f , g இரண்டும் n தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:

இங்கு இரண்டும்,

-டியோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின் எதிர்மமற்ற முழு எண் தீர்வுகள் அனைத்தையும் கொண்டவை

பொது லைப்னிட்ஸ் விதி[தொகு]

வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவமே பொது லைப்னிட்ஸ் விதியாகும்.

f , g இரண்டும் n தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
  2. Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.
  3. Complex Variables, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3

மூல நூல்களும் மேலும் படிப்பதற்கும்[தொகு]

  • Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
  • The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
  • Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  • NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=வகையிடல்_விதிகள்&oldid=1764349" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது