வகையிடலின் பெருக்கல் விதி

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் பெருக்கல் விதி அல்லது பெருக்கல் விதி (product rule) என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும்.

இவ்விதியின் கூற்று:

f , g வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்:

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் இவ்விதி:

.

வகையீடுகளின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

.

இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழு:

.

லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பு[தொகு]

இந்தப் பெருக்கல் விதி லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார்.

u(x) , v(x) இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் uv இன் வகையீடு:

du·dv மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது,

இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும்.

dx ஆல் வகுக்க,

இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • வகையிட வேண்டிய சார்பு
எனில் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த,

பெருக்குத்தொகையில் உள்ள இரு சார்புகளில் ஒன்று மாறிலியாக இருந்தால் பெருக்கல் விதியானது மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாக மாறிவிடும்.

பெருக்கல் விதிப்படி,

மாறிலி c இன் வகைக்கெழு பூச்சியம் என்பதால்,

இது வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாகும்.

பொதுவான பிழை[தொகு]

பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (uv) இன் வகைக்கெழுவை (u ′)(v ′) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு[1] ஆனால் இவ்வாறு உண்மையில் அமையாது என்பதற்கு எளிதாக மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தரமுடியும்.

நிறுவல்[தொகு]

பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்.

ƒ , g -என்பவை x இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,

இதிலுள்ள என்பது பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும்.

Regladelproducte.png

இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:[2]

= என்பதால்,

இதை (1) இல் பயன்படுத்த,

இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால்,

இப்பொழுது

  • w → x எனும்போது f(x) மாறுவதில்லை)
  • (வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் இது உண்மை)
  •    and    (f , g இரண்டும் x இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்)

இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த,

எனவே வகையிடலின் பெருக்கல் விதி நிறுவப்பட்டது.

வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.

பொதுமைப்படுத்துதல்[தொகு]

இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு[தொகு]

பெருக்கல் விதியை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்:

  • மூன்று சார்புகளுக்கு:
.
  • ஆகிய k-சார்புகளுக்கு:

உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்[தொகு]

பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் n ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, பொது லைப்னிட்ஸ் விதி அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

உயர்வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்[தொகு]

உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி:

மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்:

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Michelle Cirillo (August 2007). "Humanizing Calculus". The Mathematics Teacher 101 (1): 23–27. http://www.nctm.org/uploadedFiles/Articles_and_Journals/Mathematics_Teacher/Humanizing%20Calculus.pdf. 
  2. The illustration disagrees with some special cases, since – in actuality – ƒ(w) need not be greater than ƒ(x) and g(w) need not be greater than g(x). Nonetheless, the equality of (2) and (3) is easily checked by algebra.
  • Child, J. M. (2008) "The early mathematical manuscripts of Leibniz", Gottfried Wilhelm Leibniz, translated by J. M. Child; page 29, footnote 58.
  • கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 79. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm