பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தல்

இயற்கணிதத்தில், பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தல் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தல் (polynomial long division) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை அதன் படிக்குச் சமமான அல்லது குறைந்த படியுடைய மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வகுப்பதற்கான படிமுறைத் தீர்வு ஆகும். இது எண்கணிதத்தின் நீள்வகுத்தலின் பொதுமைப்படுத்திய வடிவமாகும். இதன்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தலானது, சிறுசிறு எளிய படிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுச் செய்யப்படுகிறது. இந்நீள்வகுத்தலின் குறுக்க வடிவம் தொகுமுறை வகுத்தல் முறை. தொகுமுறை வகுத்தல், நீள்வகுத்தலைவிடக் குறைந்தளவு கணக்கிடுதல்களைக் கொண்ட மேலும் எளிதான முறையாக அமைகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

$x^{3}-2x^{2}-4,$ பல்லுறுப்புக்கோவையை $x-3,$ ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு மற்றும் மீதி காணல்:

வகுபடுகோவை: $x^{3}-2x^{2}-4$

வகுகோவை: $x-3,$

வகுபடுகோவை பின்வருமாறு எழுதிக்கொள்ளப்படுகிறது:

$x^{3}-2x^{2}+0x-4.$

வழிமுறை:

${\begin{matrix}\qquad \qquad \qquad x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\qquad \qquad \qquad x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\qquad \qquad \qquad x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;+x^{2}+0x\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\,\qquad \qquad \qquad x^{2}+x\\\qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;+x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {+x^{2}-3x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +3x-4\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\qquad \qquad \qquad \qquad \;\;x^{2}+\;x\;+3\\\qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;+x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {+x^{2}-3x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +3x-4\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {+3x-9}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;+5\end{matrix}}$

${x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}$

யூக்ளிடிய வகுத்தல்

ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சோடி (A, B) (B ≠ 0) க்கும் A ஐ B ஆல் வகுக்கும்போது,

$A=BQ+R,$ என்பதை நிறைவு செய்யும் ஈவு Q , மீதி R என இரு கோவைகள் கிடைக்கும். இதில் R=0 அல்லது (R) இன் படி < (B) இன் படி எனவும், (Q, R) இரண்டும் தனித்தன்மை கொண்டவையாகவும் இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகள் A , B இரண்டின் வகுத்தலில் கிடைக்கும் தனித்தன்மையுடைய ஈவு, மீதிகளான Q , R ஐக் காணும்முறை ’’யூக்ளிடிய வகுத்தல்’’ என அழைக்கப்படுகிறது. பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தலானது யூக்ளிடிய வகுத்தலின் படிமுறைத் தீர்வாகிறது.

பயன்பாடுகள்

பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கம்

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சில மூலங்கள் தெரிந்துகொள்ளப்பட்டால், அந்த பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தெரிந்த மூலத்தைக் கொண்டு நீள்வகுத்தல் முறையில் வகுத்து அதன் காரணிகளைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.

பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) இன் படி n ; அதன் ஒரு மூலம் r என்க.

• P(x) இன் ஒரு காரணி (x − r)
• நீள்வகுத்தல் முறையில் P(x) ஐ (x − r) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவுக் கோவை Q(x). P(x) இன் மூலம் r என்பதால் இந்த வகுத்தலில் மீதி = 0
• P(x) = (x − r)(Q(x)), Q(x) இன் படி n − 1
• P(x) இன் மற்றொரு மூலம் s எனில் Q(x) ஐ (x − s) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு n − 2 படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், மீதி பூச்சியமாகவும் இருக்கும்.
• P(x) = (x − r)(x − s)(Q' (x)), Q' (x) இன் படி n − 1

மேலதிக மூலங்கள் தெரிந்தால் நீள்வகுத்தலை ஈவுக்கோவைகளுக்குத் தொடர்வது மூலமாக பிற காரணிகளையும் பெறலாம். இம்முறையில் நான்குக்கு அதிகமான படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணிகளைப் பெறமுடியும். ஐம்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணிகளைக் காண்பதற்கு விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் ஒரு மூலத்தைக் கண்டுபிடித்த பின்னர், அதைப் பயன்படுத்தி ஐம்படிக்கோவையை நான்காம்படிக் கோவையாகக் காரணிப்படுத்தலாம். பின்னர் அந்த நான்காம்படிக்கோவையைக் காரணிப்படுத்தி அனைத்துக் காரணிகளையும் காண முடியும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்புகளுக்குத் தொடுகோடு காணல்

ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கு அதன் மீதுள்ள ஒருகுறிப்பிட்ட புள்ளியில் தொடுகோடு காண்பதற்கு பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தலைப் பயன்படுத்தலாம்

P(x) சார்புக்கு x = r புள்ளியில் தொடுகோடு காணல்:

P(x) ஐ (x – r)² ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி R(x) எனில் y = P(x) சார்பின் வரைபடத்திற்கு, x = r இல் வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு:

y = R(x),

இதில் r , P(x) இன் மூலமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

எடுத்துக்காட்டு

$y=x^{3}-12x^{2}-42.$ வளைகோட்டிற்கு $x=1$ இல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு காணல்:

$y=x^{3}-12x^{2}-42.$ ஐ $(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$ ஆல் நீள்வகுத்தல் முறையில் வகுக்க:

${\begin{matrix}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x\;-10\\\quad x^{2}-2x+1{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \qquad {\underline {x^{3}-\;\;2x^{2}+\;\;x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad -10x^{2}-\;x-42\\\qquad \qquad \qquad \;\;\;{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-21x-32\end{matrix}}$

தொடுகோடு: $y=-21x-32.$

குறிப்புகள்

• Roe,Spencer and Taylor (2014) http://leicesteripsc.com/index.php?title=Group_3#References பரணிடப்பட்டது 2016-03-04 at the வந்தவழி இயந்திரம்