எழுகோண எண்

கணிதத்தில் ஒரு எழுகோண எண் (heptagonal number) என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். ஒரு முனையைப் பொதுமுனையாகக் கொண்டு வரையப்பட்ட 1 முதல் n புள்ளிகளுடைய பக்கங்களைக் கொண்ட ஒழுங்கு எழுகோணங்களின் சுற்றுவரைக் கோடுகளாலான அமைப்பில் உள்ள மொத்த வெவ்வேறான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை n -ஆம் எழுகோண எண் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்றாவது எழுகோண எண்ணானது, 1, 7, 15 புள்ளிகளை சுற்றுவரைக் கோட்டில் கொண்ட தொடர் எழுகோண மூன்றாவது அமைப்பிலிருந்து கிடைக்கும். முதல் புள்ளி மற்றும் இரண்டாவது சுற்றுக்கோட்டில் அமையும் 7 புள்ளிகளில் மூன்று புள்ளிகள், மூன்றாவது சுற்றுக்கோட்டில் அமையும் 15 புள்ளிகளில் உள்ள மூன்று புள்ளிகளோடு பொருந்தி விடுகின்றன. எனவே மூன்றாவது தொடர் அமைப்பிலுள்ள 18 வெவ்வேறான புள்ளிகளில் 15 புள்ளிகள் எழுகோண வடிவிலான சுற்றுக்கோட்டின் மீதும் 3 புள்ளிகள் உட்புறமாகவும் அமைகின்றன. எனவே மூன்றாவது எழுகோண எண் 18.

n-ஆம் எழுகோண எண்ணிற்கான வாய்ப்பாடு:

${\frac {5n^{2}-3n}{2}}$.

முதல் எழுகோண எண்கள் சில:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, … (OEIS-இல் வரிசை A000566)

ஒரு எழுகோண எண்ணின் ஐந்து மடங்குடன் ஒன்றைக் கூட்டக் கிடைக்கும் எண் ஒரு முக்கோண எண்ணாக இருக்கும்.

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட எழுகோண எண்ணிற்கான வாய்ப்பாடு:

$T_{n}+T_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor },$

இங்கு T_n என்பது n -ஆம் முக்கோண எண்.

முதல் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட எழுகோண எண்கள் சில:

1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112, … (OEIS-இல் வரிசை A085787)

ஒன்று விட்டு வரும் ஒவ்வொரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட எழுகோண எண்ணும் ஒரு சாதாரண எழுகோண எண்ணாக இருக்கும்.

தலைகீழ் எழுகோண எண்களின் கூடுதல் காணும் வாய்ப்பாடு:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)$

வெளி இணைப்புகள்

http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalNumber.html