நான்முக எண்

5 அலகு பக்க அளவு கொண்ட பிரமிடு. இதில் 35 கோளங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு அடுக்கும் முதல் ஐந்து முக்கோண எண்களில் ஒன்றைக் குறிக்கும்.

எண்கணிதத்தில் நான்முக எண் (tetrahedral number) அல்லது முக்கோண பிரமிடு எண் (triangular pyramidal number) என்பது அடி மற்றும் மூன்று பக்கங்களும் முக்கோணமாகக் கொண்ட பிரமிடைக் குறிக்கும் வடிவ எண்ணாகும். இந்தப் பிரமிடு ஒரு நான்முகி ஆகும். n -ஆம் நான்முக எண், முதல் n முக்கோண எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்..

முதல் நான்முக எண்கள் சில (OEIS-இல் வரிசை A000292)

:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

• n-ஆம் நான்முக எண்ணின் வாய்ப்பாடு:

$T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}={n^{\overline {3}} \over 3!}$$T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}={n^{\overline {3}} \over 3!}$

இங்கு :${n^{\overline {3}}}$${n^{\overline {3}}}$ -மூன்றாம் கூடும் தொடர்பெருக்கம்.

குறிப்பிடத்தக்க விவரங்கள்

• பாஸ்கலின் முக்கோணத்தில் இடமிருந்து வலமாக அல்லது வலமிருந்து இடமாக பார்த்தாலும் நான்முக எண்கள், நான்காவது இடத்தில் அமைகின்றன. எனவே நான்முக எண்கள் ஈருறுப்புக் கெழுக்களாகும்:

$T_{n}={n+2 \choose 3}.$$T_{n}={n+2 \choose 3}.$

• மூன்று நான்முக எண்கள் மட்டுமே முழு வர்க்கங்களாக இருக்கும் என்பதை 1878 -ல் கணிதவியலாளர் ஏ. ஜே. மெய்ல் நிறுவியுள்ளார்:

$T_{1}=1^{2}=1.$$T_{1}=1^{2}=1.$

$T_{2}=2^{2}=4.$$T_{2}=2^{2}=4.$

$T_{4}8=140^{2}=19600$$T_{4}8=140^{2}=19600$

• சதுர பிரமிடு எண்ணாக அமையும் நான்முக எண் 1 மட்டும்தான். (புயூக்கர்ஸ், 1988) முழு கனமாக அமையும் நான்முக எண்ணும் 1 மட்டுமே.

• தலைகீழ் நான்முக எண்களின் முடிவிலா கூட்டுத்தொகை:

$\!\ \sum _{n=1}^{\infty }{6 \over {n(n+1)(n+2)}}={3 \over 2}$$\!\ \sum _{n=1}^{\infty }{6 \over {n(n+1)(n+2)}}={3 \over 2}$

• ஒற்றை-இரட்டை-இரட்டை-இரட்டை என்ற அமைப்பில் நான்முக எண்கள் அமைந்துள்ளதைக் காணலாம்.

•  :$T_{5}=T_{1}+T_{2}+T_{3}+T_{4}.$$T_{5}=T_{1}+T_{2}+T_{3}+T_{4}.$

• முக்கோண எண்ணாகவும் நான்முக எண்ணாகவும் அமையும் எண்கள் கீழ்க்காணும் ஈருறுப்புக் கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்:

$Tr_{n}={n+1 \choose 2}={m+2 \choose 3}=Te_{m}.$$Tr_{n}={n+1 \choose 2}={m+2 \choose 3}=Te_{m}.$

முதல் நான்முக எண் = முதல் முக்கோண எண் = 1

3-ஆம் நான்முக எண் = 4-ஆம் முக்கோண எண் = 10

8-ஆம் நான்முக எண் = 15-ஆம் முக்கோண எண் = 120

20 -ஆம் நான்முக எண் = 55 -ஆம் முக்கோண எண் = 1540

34-ஆம் நான்முக எண் = 119-ஆம் முக்கோண எண் = 7140

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Tetrahedral Number", MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.