சதுர பிரமிடு எண்

சதுர பிரமிடு எண் 1 + 4 + 9 + 16 = 30.: ஒரு வடிவியல் விளக்கம்.

ஸ்ட்ராஸ்பர்க் வரலாற்று அருங்காட்சியகத்தில் உள்ள பீரங்கிக் குண்டு பிரமிடு. இந்தப் பிரமிடிலுள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கை ஐந்தாம் சதுர பிரமிடு எண்.

கணிதத்தில் வர்க்கப் பிரமிடு எண் அல்லது சதுரப் பிரமிடு எண் என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். சதுர அடிப்பாகமுடைய ஒரு பிரமிடின் வடிவில் அடுக்கப்பட்ட கோளங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு சதுர பிரமிடு எண். n × n -சதுர கம்பி வலையில் உள்ள மொத்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிய சதுர பிரமிடு எண்கள் பயன்படுகின்றன..

வாய்ப்பாடு

முதல் சதுர பிரமிடு எண்கள் சில:

1, 5, 14, 30 , 55 , 91, 140 , 204 , 285, 385, 506, 650, 819,..... (OEIS-இல் வரிசை A000330)

.

சதுர பிரமிடு எண்களைக் காணப் பயன்படும் வாய்ப்பாடு:

$P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.$

இந்த வாய்ப்பாடு, பால்ஹேபரின் வாய்ப்பாட்டின் (ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் பால்ஹேபர்) சிறப்பு வகையாகும். இதை எளிதாக கணித்தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலாம். இதற்குச் சமானமான வாய்ப்பாடு பிபனாச்சியின் லிபர் அபாச்சி -ல் (1202, ch. II.12) தரப்பட்டுள்ளது.

நவீன கணிதத்தில் எரார்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மூலம் வடிவ எண்கள் முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஒரு பன்முகத்திண்மம் P -ன் எரார்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை L(P,t). இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையானது, பன்முகி P -ன் அனைத்து ஆயதொலைவுகளும் எண் t -ஆல் பெருக்கப்படுவதால் கிடைக்கும் விரிவடைந்த P -ன் புதுவடிவில் உள்ள முழுஎண் புள்ளிகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. முழு எண் ஆயதொலைவுகளுடைய ஓரலகு சதுரத்தை அடிப்பாகமாகவும், அடியிலிருந்து ஓரலகு உயரத்திலுள்ள முழுஎண் புள்ளியை உச்சியாகவும் கொண்ட பன்முகியின் எரார்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை:

${\frac {(t+1)(t+2)(2t+3)}{6}}$ = P_t+1.

பிற வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு

சதுர பிரமிடு எண்களை இரு ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்:

$P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}.$

இதிலுள்ள ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் இரண்டும் நான்முக எண்களாகும். எனவே ஒரு சதுர எண் அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமைவது போல ஒரு சதுர பிரமிடு எண் இரு நான்முக எண்களின கூட்டுத்தொகையாக அமைகிறது. இவ்விரண்டு நான்முக எண்களில் ஒன்று, பிரமிடின் அடிச்சதுரத்தின் ஒரு மூலைவிட்டத்திற்கு நேர் மேல் அல்லது ஒருபக்கத்தில் அடுக்கப்பட்டுள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கைக்கும் மற்றது அந்த மூலைவிட்டத்தின் அடுத்த பக்கத்தில் அடுக்கப்பட்டுள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கைக்கும் சமமாக இருக்கும்.

சதுர பிரமிடு எண்கள் நான்முக எண்களுடன் கொண்டுள்ள மற்றொரு தொடர்பு:

$P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.$

அடுத்தடுத்த இரு சதுர பிரமிடு எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு எண்முக எண்ணாகும்.

அடிப்பாகத்தின் விளிம்பில் n பந்துகளுடைய ஒரு பிரமிடின் முக்கோண முகங்களுள் ஒன்றோடு அடிப்பாக விளிம்பில் n − 1 பந்துகள் கொண்ட நான்முகியைச் சேர்த்து அந்தப் பிரமிடை பெரிதுபடுத்தினால் ஒரு முக்கோணப் பட்டகம் கிடைக்கும். இதேபோல் ஒரு முக்கோணப் பட்டகத்திலிருந்து ஒரு நான்முகியை நீக்க, பிரமிடு கிடைக்கிறது என்றும் கொள்ளலாம். இத்தொடர்பு பின்வருமாறு தரப்படுகிறது:

$P_{n}=n{\binom {n+1}{2}}-{\binom {n+1}{3}}.$

எண் ஒன்றைத் தவிர சதுர எண் மற்றும் சதுர பிரமிடு எண்ணாகவும் உள்ள மற்றொரு ஒரேயொரு எண் 4900. இது 24 -ஆவது சதுர பிரமிடு எண் மற்றும் 70². இந்த உண்மை ஆங்கில கணிதவியலாளர் ஜி. என். வாட்சனால் 1918ல் நிறுவப்பட்டது.

அடுத்தடுத்த இரு சதுர எண்களின் கூடுதல் ஒரு சதுர பிரமிடு எண்.

சதுரத்துக்குள் சதுரங்கள்

ஒரு 5 × 5 சதுர கம்பிவலையில் அமையும் மொத்த சதுரங்கள் 55 -ல் மூன்று வகைச் சதுரங்கள் வண்ணமிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளன.

ஒரு பெரிய n x n சதுர கம்பி வலையிலுள்ள மொத்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கை காணும் கணிதப் புதிரின் விடை:

• 1 x 1 சதுர கட்டங்கள் = $n^{2}$.
• 2 x 2 சதுர கட்டங்கள் = $(n-1)^{2}$.
• k x k (1 ≤ k ≤ n) சதுர கட்டங்கள் = $(n-k+1)^{2}$.
• n x n சதுர கம்பி வலைக்குள் அமையும் மொத்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கை:

$n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots +1^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.$

எனவே இப்புதிருக்கான விடை சதுர பிரமிடு எண்களாக அமைகின்றன

சதுர வலைக்குள் உள்ள செவ்வகங்களின் எண்ணிக்கை வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்களாக அமையும்.

மேற்கோள்கள்

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.) (1964). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55. p. 813. ISBN 0486612724.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Beiler, A. H. (1964). Recreations in the Theory of Numbers. Dover. pp. 194. ISBN 0486210960.
• Goldoni, G. (2002). "A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two". The Mathematical Intelligencer 24 (4): 67–69. https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_fall-2002_24_4/page/67. 
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 260–261. ISBN 0-387-95419-8.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Square Pyramidal Number", MathWorld.