முக்கோண எண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள்.

வடிவவியலில் முக்கோண எண் (triangular number) என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில் உள்ளவாறு, ஒரு முக்கோண எண் என்பது ஒரு சமபக்க முக்கோண வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தத்தக்க ஒரு எண்ணாகும். (மரபின்படி, முதலாவது முக்கோண எண் 1 ஆகும்.) n -ஆம் முக்கோண எண் என்பது ஒரு பக்கத்திற்கு n புள்ளிகளெனக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் மொத்தப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும். ஒவ்வொரு வரிசையும் அதற்கு முன்னுள்ள வரிசையைக்காட்டிலும் ஒரு அலகு கூடுதலாக உள்ளது. இதன் மூலம் முதல் முக்கோண எண் 1; இரண்டாம் முக்கோண எண் 1+ 2 = 3; மூன்றாம் முக்கோண எண் 1 + 2 + 3 = 6;.... என இயல் எண் களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒவ்வொரு முக்கோண எண்ணும் அமைவதைக் காணலாம். n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை (OEISஇல் வரிசை A000217 ):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,.....

n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்பதால் முக்கோண எண்களுக்கான மீள்வரு வாய்ப்பாடு:

T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}

வலது இறுதியில் உள்ளது ஒரு ஈருறுப்புக் கெழு. இக்கெழு, n + 1 பொருள்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய சோடிகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. பெருக்கலில் உள்ள தொடர் பெருக்கத்தைப் போன்றவை கூட்டலுக்கு முக்கோண எண்கள். தொடர் பெருக்கம் n !, 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் பெருக்கலுக்குச் சமம். முக்கோண எண் T_n, 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

ஒவ்வொரு புள்ளியையும் இணைத்து வரையக் கூடிய கோடுகளின் எண்ணிக்கையைப் பின்வரும் வாய்ப்பாடு மூலம் காணலாம்:


L_n =  L_{n-1} + 3(n-1)

புள்ளிகள் மற்றும் இக்கோடுகளின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான விகிதம்விகிதத்தின் குறிப்பிடத்தக்கதொரு பண்பு:


\lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{L_n} = \frac{1}{3}

ஏனைய வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு[தொகு]

முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.
6 + 10 = 16 Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg     10 + 15 = 25 Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

மேலேயுள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டிலும், இரண்டு பொருந்துகின்ற முக்கோணங்களிலிருந்து ஒரு சதுரம் அமைவதைக் காணலாம்.

  • எண்ணற்ற முக்கோண எண்கள் வர்க்க எண்களாகவும் அமைகின்றன. அவற்றுள் சிலவற்றை பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:
S_{n+1} = 4S_n \left( 8S_n + 1\right). இதில், S_1 = 1.

அனைத்து வர்க்க முக்கோண எண்களையும் பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.

S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2.
இதில் S_0 = 0 மற்றும் S_1 = 1.
  • n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் 1 முதல் n வரையிலான முழு எண்களின் கனங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
T_n^2= \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+3^3+ \dotsb +n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2


 T_1 +  T_2+T_3 +....+T_n = \frac {(n)(n+1)(n+2)} {6}.
  • பொதுவாக, n -ஆம் m -பலகோண எண் மற்றும் n -ஆம் (m + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (n – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு:

ஆறாம் எழுகோண எண் = 81. ஆறாம் அறுகோண எண் = 66
இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்ணையும் காணமுடியும்.

n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:

Ck_n = kT_{n-1}+1.\
இங்கு T_(n-1) -முக்கோண எண்;
Ck_n -n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்.

இரு முக்கோண எண்களின் நேர்ம வித்தியாசம் ஒரு சரிவக எண்.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]


இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=முக்கோண_எண்&oldid=1341032" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது