பை (கணித மாறிலி)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
கிரேக்க சிறிய வகை எழுத்து π
ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு விட்டத்தின் π மடங்கு என்பதனைக் கண்ணால் கண்டு உணர ஒரு நகரும் படவுரு.

பை (π) என்பது கணக்குத்துறையில் மிக அடிப்படையான சிறப்பு எண்களில் ஒன்று. ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு (பரிதி), அதன் விட்டத்தைப்போல பை (π) மடங்கு ஆகும். இந்த பை (π) என்பது சற்றேறக் குறைய 3.14159 ஆகும். பழங்காலத்தில் இதனை தோராயமாக 22/7 என்றும் குறித்து வந்தனர். பை அறிவியலிலும் பொறியியல் துறையிலும் மிகவும் பயன்படுவதால், இதனைக் கணிக்க பல சமன்பாடுகளும் தோராயமாக கணக்கிடும் முறைகளும் உண்டு.

பைக்கு கி.பி.400-500 ஆண்டுகளில் வாழ்ந்த இந்திய அறிஞர் ஆரியபட்டா அவர்கள் கணக்கிட்ட அளவு அண்மைக்காலம் வரையிலும் மிகத் துல்லியமானது. இன்றோ பையின் (π ) அளவை ஒரு டிரில்லியன் பதின்ம (தசம) எண்களுக்கும் மேலாக, மாபெரும் வல்லமை படைத்த கணினிகளைக் கொண்டு கணித்து இருக்கிறார்கள். என்றாலும் பையின் பதின்ம எண் வரிசையிலே, எண்கள் எந்த முறையிலும் மீண்டும் மீண்டும் வாராமல் இருப்பது எதிர்பார்க்கப்பட்டது எனினும் ஒரு வியப்பான செய்தி. இந்த பையின் பதின்ம(தசம) எண்கள் வரிசையில் முடிவேதும் இல்லை. இவ்வகை எண்கள் முடிவிலா துல்லியவகையைச் சேர்ந்த சிறப்பு எண்கள். இதனை வேர்கொளா சிறப்பு எண்கள் என அழைக்கப்படும்.

பை (π) என்னும் எழுத்தானது வட்டத்தின் விட்ட வகுதியை குறித்ததற்கு வரலாற்றுக் காரணம், கிரேக்கர்கள் வட்டத்தின் சுற்றளவை குறிக்க பெரிமீட்டர் "περίμετρον" (பரிதி) என்னும் சொல்லை ஆளுவதால் அதன் முதல் எழுத்தாகிய பை (π) யைப் பயன்படுத்தினர். இன்று அனைத்துலக மொழிகளிலும் இவ்வெழுத்தே எடுத்தாளப்பெறுகின்றது.

பையின் மதிப்பு சற்று கூடிய துல்லியத்தோடு இதோ:

  • 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058

20974944592307816406286208998628034825342117067982148 086513282306647093844609550582231725359408128481117450 284102701938521105559644622948954930381964428810975665 9334461284756482378678316527120190914564856692346034861 045432

பை (\pi) யின் சில பண்புகள்[தொகு]

  • π என்பது ஒரு வகுனி அல்லா எண் (irrational number). அதாவது விகிதம் போல் வகு கோட்டுக்கு மேலும் கீழும் முழு எண்களைக்கொண்ட ஒரு வகுனி எண்ணாக எழுத இயலாத எண் [குறிப்பு: வகுனி எண்= வகும எண் = விகித எண், வகுதி எண்]. இம்முடிவை 1761 ஆம் ஆண்டு திரு. சோஃஆன் ஃஐன்ரிச் லாம்பெர்ட் (Johann Heinrich Lambert) என்பார் நிறுவினார் (நிறுவுதல் = எண்பித்தல், எண் என்றால் எளிய என்றும் பொருள்).
  • π ஒரு வேர்கொளா எண். இம்முடிவை 1882 ஆம் ஆண்டு திரு. ஃவெர்டினாண்டு ஃவான் லிண்டமன் (Ferdinand von Lindemann) நிறுவினார் (எண்பித்தார்). பை என்பது துல்லியம் கடந்த எண் என்பதால் இதனை வகுனிகளால் ஆன குணகள் கொண்ட எந்தவொரு ஒரு பல்லடுக்கனின் (பல்லடுக்குத் தொடரால் ஆன ஒரு செயற்கூறின்) (polynomial]) வேர் எண்ணாகவும் (root) பெறமுடியாது.

சில பயனுடைய ஈடுகோள்கள் (formulae, equations)[தொகு]

வடிவவியல்[தொகு]

π என்பது இயல்பாகவே வடிவவியலில் வட்டம் உருண்டை, உருளை போன்றவற்றை பற்றிய உண்மைகளைக் குறிக்கும் பல சமன்பாடுகளில் (ஈடுகோள்களில்) வரக் காணலாம்.

வடிவவியலில் உள்ள வடிவம் ஈடுகோள் (சமன்பாடு)
ஆரம் r மற்றும் விட்டம் d எனில் வட்டத்தின் சுற்றளவு, C = 2 \pi r = \pi d \,\!
r என்பது ஆரம், d என்பது விட்டம் எனில் வட்டத்தின் பரப்பு A = \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi d^2 \,\!
ஒரு நீள்வட்டத்தின் இரு அச்சுகளும் a மற்றும் b ஆனால் அதன் பரப்பு A = \pi a b \,\!
ஆரம் r மற்றும் விட்டம் d எனில் ஒரு உருண்டையின் கன அளவு V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!
ஆரம் r மற்றும் விட்டம் d எனில் ஒரு உருண்டையின் மேற் பரப்பளவு A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!
ஆரம் r, உயரம் h எனில் உருளையின் கன அளவு V = \pi r^2 h \,\!
ஆரம் r, உயரம் h எனில் உருளையின் மேற் பரப்பளவு A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
ஆரம் r, உயரம் h எனில் ஒரு கூம்பின் கன அளவு V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
ஆரம் r, உயரம் h எனில் ஒரு கூம்பின் மேற் பரப்பளவு A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

கோணத்தில் 180° பாகை என்பது π ரேடியன் ஆகும் (ரேடியன் = ஆரையம்?)

பகுப்பாய்வில் பயன்படும் சில ஈடுகோள்கள்[தொகு]

\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}
  • ஓரலகு வட்டத்தின் (unit circle) சுற்றளவின் பாதி:
\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi
\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots = \frac2\pi
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
 \prod_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{n+1}{n} \right )^{(-1)^{n-1}} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
  \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/4} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/8} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/16}  \cdots = \frac{\pi}{2}
  • Symmetric formula (see Sondow, 1997)
  \frac {\prod_{n=1}^{\infty} \left (1 + \frac{1}{4n^2-1} \right )}{\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{4n^2-1}}  =  \frac {\left (1 + \frac{1}{3} \right ) \left (1 + \frac{1}{15} \right ) \left (1 + \frac{1}{35} \right ) \cdots} { \frac{1}{3} +  \frac{1}{15} +  \frac{1}{35} + \cdots}  = \pi
\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right) = \pi
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\zeta(2)= \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
and generally, \zeta(2n) is a rational multiple of \pi^{2n} for positive integer n
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
e^{i \pi} + 1 = 0\;
\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2}
\oint\frac{dz}{z}=2\pi i ,
where the path of integration is a closed curve around the origin, traversed in the standard counterclockwise direction.

தொடர் பின்னம் (= தொடர் பிள்வம்) (Continued fractions)[தொகு]

கீழ்க்காணும் தொடர் பின்னத்தில், முழு எண்கள் ஒற்றைப் படைத் தொடராக 1,3,5,7.. என்றும் பின்னத்தில் மேலே உள்ள எண்கள் ஈரடுக்கு எண்களாக (22, 32,42, 52 ), 4,9,16,25.. எனவும் ஒரு சீராக மாறுவதைப் பார்க்கலாம்.

 \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cdots}}}}}}

(மற்ற முறைகளில் அமைத்த ஈடுகோள்களை வுல்ஃபரம் வலைத்தளத்தில் காணலாம்

எண் கருத்தியல் கொள்கை[தொகு]

எண்ணியல் கொள்கைகளில் இருந்து சில முடிவுகள்::

இயற்பியல்[தொகு]

அடிப்படை வானவியல் போன்ற இயற்பியல் துறைகளில் உண்மைகளைக் காணும்பொழுது π என்னும் எண் பரவலாக வரக் காணலாம்.

\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
 \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}

மின் மற்றும் காந்தவியலில்[தொகு]

 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
  • வெற்றிடத்தில் காந்த உட்புகு திறன்:
 \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,

நிகழ்தகவும் புள்ளியியலும்[தொகு]

நிகழ்தகவிலும் புள்ளியியலிலும்\pi -ஐக் கொண்டுள்ள வாய்ப்பாடுடைய நிகழ்தகவுப் பரவல்கள் பல உள்ளன, அவற்றில் சில கீழே தரப்பட்டுள்ளன:

  • சராசரி -μ மற்றும் திட்ட விலக்கம் -σ கொண்ட இயல்நிலைப் பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு (காசியன் தொகையீட்டின்படி):[1]
f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}
  • கோஷி பரவலின் நிகழ்தவு அடர்த்திச் சார்பு:[2]
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.

எந்தவொரு நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு f(x) -க்கும் \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 என்பதால் மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி \pi -க்கான ஏனைய தொகையீட்டு வாய்ப்பாடுகளைக் காணலாம்.[3]

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

அடிக்குறிப்புகள்[தொகு]

மேலும் சில[தொகு]

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

எண்கள்
பொது

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=பை_(கணித_மாறிலி)&oldid=1711303" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது