ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
சிக்கலெண் தளத்தில் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் (Riemann zeta function) ζ(s). இச் சார்பியத்தின் மாறியாகிய s இன் நிறம் அவ்விடத்தில் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் கொள்ளும் மதிப்பைப் பொருத்தது. "வலுவான" நிறங்கள் சுழி மதிப்புக்கு நெருக்கமானவற்றைச் சுட்டும். s = 1 என்னும் இடத்தில் உள்ள வெள்ளைப் புள்ளி, இசீட்டா சார்பியத்தின் "முடிவிலிக் கோலைச்" (pole) சுட்டும்; எதிர்ம மெய்யெண் அச்சிலும், Re(s) = 1/2 என்னும் முக்கியகோடுகளிலும் காணப்படும் கறுப்புப் புள்ளிகள் இசீட்டா சார்பியத்தின் (மறை) வேர்களைச் (zeros) சுட்டும். படத்தின் வலப்புறம் உள்ள நேர்ம மெய்யெண் தளத்தில் உள்ள மதிப்புகள் சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

கணிதவியலில், குறிப்பாக எண்கோட்பாட்டு இயலில் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் அல்லது ரீமன் இசீட்டா சார்பு (Riemann zeta function) என்பது முதன்மையான சார்புகளில் ஒன்று. இச் சார்பியம் ஒரு முடிவிலா கூட்டுத் தொடர். இது புகழ்பெற்ற டாய்ட்சு நாட்டுக் கணிதவியலர் பெர்னார்டு ரீமன் (Bernhard Riemann) அவர்களின் பெயர் சூட்டப்பட்ட சார்பியம் (சார்பு). இச் சார்பியத்தின் பெயரில் உள்ள இசீட்டா (zeta) என்பது பொதுவாக இச்சார்பியத்தைக் குறிக்கப் பயன்படும் கிரேக்க மொழி எழுத்தின் பெயர். இசீட்டா என்று தமிழில் அழைக்கப்படும் இக் கிரேக்க எழுத்தின் தோற்றம், \zeta \, என்பதாகும். இச் சார்பியம் இயற்பியல், நிகழ்தகவியல், பயன்முகப் புள்ளியியல் போன்ற பல துறைகளிலும் பயன்படும் ஒரு சார்பு (சார்பியம்). இச் சார்பியம் பகா எண் தேற்றத்தோடும் தொடர்பு கொண்டது.

ரீமன் கருதுகோள் (Riemann hypothesis) என்று அறியப்படும், ரீமன் ஊகம், தனிக்கணிதத்தில் (pure mathematics) இன்னும் நிறுவப்படாத மிக முக்கியமான கேள்விகளில் ஒன்று என்று கணிதவியலர் கருதுகின்றனர்.[1] இந்த ரீமன் ஊகம் என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பியத்தின் வேர்கள்(zeros) பற்றிய ஓர் கணித ஊகம் (நிறுவா முன்கருத்து). .

பொருளடக்கம்

[தொகு] வரையறை

ரீமன் இசீட்டா-சார்பியம் \zeta(s)\, என்பது s\, என்னும் சிக்கல் எண் மாறியால் அமைந்த, முடிவிலித் தொடர்:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots. \!

இது s என்னும் திறந்த அரை-தளத்தில், Re(s) > 1 என்றிருந்தால், முற்றும் குவிந்தடங்கி, முற்றுமாய் நுண்பகுப்பாய்வு செய்யத்தக்க சார்பியமாக மாறவல்ல டிரிழ்ச்லெட் தொடர் (Dirichlet series) ஆகும். மற்றவிடத்தில் குவியாது விரிந்து (diverge) செல்லும் சார்பியம். குவியும் அரை-தளைத்தில் உள்ள தொடரால் வரையறை செய்த இச்சார்பியம், s ≠ 1 என்ற எல்லா சிக்கல் எண் தளத்திலும் தொடர்ந்து நுண்பகுப்பாய்வு செய்யகூடியது. s = 1 என்னும் நிலையில், இத்தொடர் இயல் கீழ்வாய்த் தொடராக (ஆர்மானிக் தொடராக) மாறி முடிவிலியாக விரிகின்றது. ஆகவே இசீட்டா சார்பியம் என்பது ஒரு சில புள்ளிகளில் மட்டும் முடிவிலியாக மாறவல்ல, ஆனால் மற்ற இடங்களில் தொடர்ந்த நுண்பகுப்பாய்வு செய்யவல்ல, s என்னும் சிக்கலெண் மாறியால் ஆன பொறிவிரிவு சார்பியம் (மேரோமார்ஃவிக் சார்பியம், Meromorphic function) ஆகும். சிக்கலெண் எச்சம் மதிப்பு 1 கொண்ட s = 1 என்னும் இடத்தைத் தவிர மற்ற இடங்களில் சீராக மாறவல்ல சீருருவு சார்பியம் (ஃஓலோமார்ஃவிக், holomorphic)ஆகும்.

[தொகு] இசீட்டா சார்பியத்தின் சில குறிப்பிட்ட மதிப்புகள்

Riemann zeta function for real s > 1

2n என்னும் எந்த நேர்ம இரட்டைப்படை எண்ணுக்கும்,

\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

இதில் B2n என்பது பெர்னூலி எண்(Bernoulli number),

ஆனால் அதுவே எதிர்ம எண்களாக இருந்தால்,

n\ge 1 என்னும் நிலையில்

\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}

ஆகவே இசீட்டா சார்பியம் &zeta, அதன் மாறி இரட்டைபப்டை எதிர்ம எண்களாக இருந்தால் இசீட்டா சார்பியம் கரைந்து விடுகின்றது. ஆனால் ஒற்றைப் படை நேர்ம எண்களுக்கு இவ்வகையான எளிய தீர்வுகள் இல்லை.

இசீட்டா சார்பியத்தின் மதிப்பை தொகுமுறைகளின் படி பெறுவனவற்றை இசீட்டா மாறிலிகள் என்பர். சில குறிப்பிட்ட மாறிகளுக்கான இசீட்டா சார்பியத்தின் மதிப்புகளைக் கீழே காணலாம்:


\zeta(0) = -1/2,\!
\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\!
இதுதான் இயல் கீழ்வாய்த் தொடர் (ஃஆர்மானிக் தொடர்).
\zeta(3/2) \approx 2.612;\!
இயற்பியலில் போசு-ஐன்சுட்டைன் உறைநிலை என்னும் நிலையை அடைய குளிர்விக்கும் நிலைமாறு புள்ளியான வெப்பநிலையைக் கணக்கிடுவதில் இது பயன்படுகின்றது. இது காந்தப்பொருள்களில் காந்த ஒழுங்குறும் பொழுது நிகழும் தற்சுழற்சி அலைகளின் இயற்பியலிலும் எழுகின்றது.
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!
இச் சமன்பாட்டை நிறுவிக்காட்டுவது இபேசல் சிக்கல் னப்படுகின்றது. சீருறா வண்ணம் ஏதோ இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுத்தால், அவை ஒன்றுக்கு ஒன்று பகா எண்களாக இருக்கும் நிகழ்தகவு என்ன என்னும் கேள்விக்கு விடையாக அமைவது இத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் தலைகீழ் மதிப்பு[2]
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\!
இது அப்பெரி மாறிலி (Apéry's constant) என்று அழைக்கப்படுகின்ன்றது.
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\!
இது வெப்பவியலில் புகழ்பெற்ற இசுட்டெவ்வான்-போல்ட்சுமன் விதி(Stefan–Boltzmann law]] மற்றும் வீன் விதி அல்லது வீன் அண்ணளவு (Wien approximation) என்று அறியப்படுகின்றது.

[தொகு] ஆய்லரின் பெருக்குத்தொடர் வாய்பாடு

இசீட்டா சார்பியத்துக்கும் பகா எண்களுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை லியோனார்டு ஆய்லர் கண்டுபிடித்தார். அவர் கீழ்க்காணும் ஈடுகோளை நிறுவினார்:

\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}

மேலுள்ளதில், வரையறையின் படி இடப்புறம் உள்ளது இசீட்டா சார்பியம் ζ(s), வலப்புறம் உள்ளது p என்று குறிக்கப்பெறும் எல்லா பகா எண்களும் செல்லுமாறு அமைந்த முடிவிலி தொடர்பெருக்கல் (இவற்றை ஆய்லர் பெருக்கல் என்பர்):

\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots.

Re(s) > 1 என்னும் தளத்தில் ஆய்லரின் தொடர்பெருக்கு வாய்பாட்டில் உள்ள இருபக்கத்தில் உள்ளனவும் குவியும் (converge). ஆய்லரின் வாய்பாட்டின் நிறுவலில் அடிப்படை எண்கணக்கியல் தேற்றம் எனப்படும் பகா எண் காரணிப்படுத்துதல் முறையும், விகித அடுக்குத் தொடரும் (geometric series) மட்டுமே பயன்படுகின்றன. s = 1 என்னும் நிலையில் இயல் கீழ்வாய்த் தொடர் எழுவதால், அது முடிவிலியாக விரிவதால் (diverges), ஆய்லரின் வாய்பாடு மறைமுகமாக சுட்டுவது என்னவென்றால், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவிலி என்பதாகும்

மாறி s என்பது முழு எண் ஆனால், சீருறாமல் ஏதோ s எண்களைப் பொறுக்கினால், அவை ஒன்றுக்கு ஒன்று பகா எண்க்களாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட ஆய்லரின் பெருக்கல் வாய்பாடு இதவும். இந் நிகழ்தகவு 1/ζ(s) என்று நிறுவியுள்ளனர்.

[தொகு] அடிக்குறிப்புகளும் மேற்கோள்களும்

  1. ↑ Bombieri, Enrico. "The Riemann Hypothesis - official problem description". Clay Mathematics Institute. http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf. Retrieved on 2008-10-25. 
  2. ↑ C. S. Ogilvy & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9

[தொகு] உசாத்துணை

[தொகு] வெளி இணைப்புகள்

"http://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B0%E0%AF%80%E0%AE%AE%E0%AE%A9%E0%AF%8D_%E0%AE%87%E0%AE%9A%E0%AF%80%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%9F%E0%AE%BE_%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%AE%E0%AF%8D" இணைப்பிலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது
சொந்தப் பயன்பாட்டுக் கருவிகள்