எண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

எண் என்பது கணக்கிடப் பயன்படும் ஒரு அடிப்படையான நுண் கருத்துரு. கணிதத்துறையில் பலவகையான எண்கள் உள்ளன. மனிதன் தோன்றியகாலத்திலேயே அவன் கைவிரல்களை எண்ண எப்பொழுது தானே கற்றுக்கொண்டானோ அன்றே 'எண்' என்ற கருத்து உண்டானதாகக் கொள்ளலாம். எண்களின் கருத்து வளர்ச்சியே கணிதவியலின் தோன்றல்.

எண் என்ற கருத்துரு தொன்ம காலம் தொட்டு தமிழர்களிடம் முக்கியத்துவம் பெற்றிருக்கின்றது. "எண்ணென்ப ஏனை எழுத்தென்ப; இவ்விரண்டும் கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு" என்ற திருவள்ளுவர் குறளும், "எண் எழுத்து இகழேல்" என்ற ஒளவையார் கூற்றும் பழந்தமிழர் சிந்தனையில் எண்ணுக்கும், எழுத்துக்கும் தொன்று தொட்டு தந்த முக்கியத்துவத்தை விளக்குகின்றன.

பாமரரும் அறியும் எண்கள்[தொகு]

நடைமுறையில் மிகவும் பழக்கமான எண்கள், எண்ணுவதற்குப் பயன்படும் எண்கள் இயற்கை எண்களாகும். இவைகளை இயல்எண்கள் அல்லது இயலெண்கள் என்றும் குறிப்பிடலாம். இவை 1, 2, ... என்பன. இவ்வெண் தொகுதியை (= கணத்தைக்) \mathbf{N} என்னும் சிறப்பெழுத்தால் கணிதத்தில் குறிக்கப்படுகின்றது. இவற்றுடன் எதிர்ம எண்களையும் (-1, -2, -3, ...) சேர்த்து, முழு எண்கள் (integers) தொகுதி (= கணம்) என அழைக்கப்படுகின்றது. இதன் குறியீடு \mathbf{Z}.

ஆக, முழு எண்கள் மூன்று வகைப்படும்:

  • மிகை எண்கள் அல்லது நேர்ம எண்கள்: 1, 2, 3, ...
  • பூச்சியம் அல்லது சூனியம்: 0
  • குறை எண்கள் அல்லது எதிர்ம எண்கள்: -1, -2, -3, ...

இம்முழு எண்களின் கணம் \mathbf{Z} இயல்எண்களின் கணமான \mathbf{N}ஐ உள்ளடக்கியது. அதாவது \mathbf{N} \subset \mathbf{Z}.

அரை, கால், ஒன்றேமுக்கால் என்பன போன்று முழு எண்களால் ஆன விகிதங்களால் குறிப்பிடப்படுவன ஒரு வகுகோட்டின் மேலும் கீழுமாக முழு எண்களால் குறிப்பிடப்படும் வகுனி எண்கள் அல்லது விகிதமுறு எண்கள் (rational numbers) எனப்படும். இவை அரை கால், வீசம் போன்ற கீழ்வாய் எண்களாக அல்லது குறைஎண்களாக (பின்னங்கள், பிள்வங்கள்) இருக்கலாம், அல்லது 7/3, 21/6 என்பன போன்று ஒன்றின் மிகையான எண் அளவைக்குறிக்கும் எண்களாகவும் இருக்கலாம். இவ் வகுனி எண்கள் கணம் \mathbf{Q} என்னும் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகின்றது.

இந்த விகிதமுறு கணம் \mathbf{Q} முழு எண்களின் கணமான \mathbf{Z} ஐ உள்ளடக்கியது. அதாவது \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q}.

மெய்யெண்கள்[தொகு]

எல்லா எண்களும் விகிதமுறு எண்களல்ல என்பது \surd{2} முதலிய எண்களின் உதாரணம் கொண்டு கணித ஆய்வாளர்கள் கிரேக்க கணிதகாலத்திலிருந்தும், இந்துக்களின் சுல்வசூத்திரங்களிலிருந்தும் தெரிந்து வைத்திருந்தனர். ஆனால் \mathbf{Q} என்ற விகிதமுறு எண்கள் கணத்தையும் உள்ளடக்கி ஒரு மிகப்பெரிய எண்கணம் \mathbf{R} என்பதொன்று உண்டென்றும் அதுதான் நாம் வாழ்க்கையில் சந்திக்கும் எல்லா எண்களையும் உள்ளடக்கியது என்றும் மனிதன் ஐயமறத் தெரிந்துகொள்வதற்கு 19வதுநூற்றாண்டு வரையில் காத்திருக்கவேண்டியதாயிற்று.

\mathbf{R} என்றகணத்தின் உறுப்புகளுக்கு மெய் எண்கள் என்றும், உள்ளது உள்ளபடி இருப்பதால் உள்ளக எண்கள் என்றும் பெயர்கள் உண்டு. இதனில், விகிதமுறு எண்களை எடுத்துவிட்டால், இதர எண்கள் விகிதமுறா எண்கள் எனப்படும். விகிதமுறா எண்கள் இரண்டு வகைப்படும்: இயற்கணித எண்கள், விஞ்சிய எண்கள்.

சிக்கலெண்கள்[தொகு]

இதற்குமேலுள்ள எண்கணங்களெல்லாம் கணித இயலர்களின் படைப்புகளே. எடுத்துக்காட்டாக, செறிவெண்கள் (பலக்கெண், அல்லது சிக்கலெண்(complex numbers) என்னும் ஒரு வகை எண்களுக்கு கணிதத்திலும் அதன் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் முக்கிய இடமுண்டு. இந்த கணத்தை \mathbf{C} என்று குறிப்பது வழக்கம். ஒவ்வொரு சிக்கலெண்ணிலும் ஒரு உள்ளகப் பகுதியும் (Real part) ஒரு அமைகணப் பகுதியும் (Imaginary part)உண்டு. \mathbf{C} இலுள்ள ஒவ்வொரு எண் z ம் a + ib என்ற உருவத்தில் இருக்கும். இங்கு a யும் b யும் உள்ளக எண்கள். a க்கு z இன் உள்ளகப் பகுதி என்றும் b க்கு z இன் அமைகணப் பகுதி என்றும் பெயர்.

எனவே இவ்வெண் வகைகளின் தொடர்பு கீழே காட்டிய வாறு உள்ளது:

\mathbf{N} \subset \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q} \subset \mathbf{R} \subset \mathbf{C}

பகா எண்கள்[தொகு]

பகா எண் (Prime Number) என்பது 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர வேறு நேர் வகுத்திகள் இல்லாத, 1 ஐ விடப் பெரிய இயல் எண்ணாகும். 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர வேறு வகுத்திகள் கொண்ட பிற இயல் எண்கள் (1 நீங்கலாக) கலப்பெண்கள் (composite numbers) என அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இயல் எண் 11 ஒரு பகா எண். அதற்கு 1 ஐத் தவிர வேறு வகுத்திகள் இல்லை. இயல் எண் 6 ஒரு கலெப்பெண். ஏனெனில் இதன் வகுத்திகள்: 1, 2, 3, 6. கணிதத்தில் மட்டுமல்லாது, அறிவியலைச் சார்ந்த மிகப்பல பிரிவுகளிலும், பகா எண் என்ற கருத்து எண்களைப் பற்றிய பற்பல உறவுகளில் பங்களிக்கிறது. எண் கோட்பாட்டில் பகா எண் முக்கிய பங்குவகிக்கிறது. எண்கள் தோன்றிய காலத்திலிருந்தே பகா எண் என்ற கருத்துள்ள பெயர் இருந்திருக்காவிட்டாலும், கருத்தளவில் அது மனிதனின் எண்ணத்தில் தோன்றியிருக்க வேண்டும் என்றும், அத்தோன்றலே அறிவியலின் தொடக்கம் என்ற கருத்தும் உள்ளது. பகா எண்களைப் பற்றி சில கருத்துக்கள் ஆய்வு செய்யப்பட முடியாமலே பல நூற்றாண்டுகள் சென்றபிறகு, தற்காலத்தில் கணினிகளின் உதவியால் அவை மீண்டும் பெரிய அளவிலே ஆய்வு செய்யப்பட்டு வெற்றியும் தந்து கொண்டிருக்கின்றது.

இலக்கங்கள்[தொகு]

எண்கள், இலக்கங்களிலிருந்து வேறுபட்டவை. இலக்கங்கள் எண்களைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் குறியீடுகளாகும். தொடரான தானங்களாக அமையும் எண்குறியீட்டு முறை, இலக்க முறைமைகள் என்னும் தலைப்பின் கீழ் ஆராயப்படுகின்றது. மக்கள் சிலசமயம் பொருட்களுக்கு, எண்கள் மூலம் தனித்துவமான பெயர்களை வழங்க விரும்புகிறார்கள். பல வகையான எண்களிடும் முறைகள் புழக்கத்தில் உள்ளன.

வரலாறு[தொகு]

விலங்கின் எழும்புகளே முதலில் எண் முறைமைக்கு மானுடத்தால் பயன்படுத்தப்பட்டது.[1] வரலாற்றில் முதலில் மதிப்பாக எண்களை பயன்படுத்தியவர்கள் மெசொப்பொத்தேமியர்கள் ஆவர். இவர்கள் கி. மு. 3400 ஆண்டுகளின் வாக்கில் அறுபதின்ம எண் முறையை பயன்படுத்தினர். எகிப்தியர்கள் கி. மு. 3100 ஆண்டுகளின் வாக்கில் பதின்ம எண் முறையை பயன்படுத்தினர்.[2] பாபிலோனியர்களும், எகிப்தியர்களும் சுழியத்தை (0) சொல்லாகவும் இந்தியர்கள் சுழியத்தை சூன்யம் என்ற சொல்லாகவும் பயன்படுத்தினர்.[3]

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

மேற்கோள்களும் குறிப்புகளும்[தொகு]

  1. Marshak, A., The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.
  2. "Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora". Math.buffalo.edu. பார்த்த நாள் 2012-01-30.
  3. "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] The Zero Story: a question". Sunsite.utk.edu (1999-04-26). பார்த்த நாள் 2012-01-30.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=எண்&oldid=1474517" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது