ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில், குறிப்பாக எண் கோட்பாட்டில்,ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு ஒரு முக்கியமான சார்பு.

வரையறை[தொகு]

n ஒரு நேர்ம முழு எண் ணானால், n-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், n-ஐப் பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,n-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கை \varphi(n) எனப்படும். \varphi: n\mapsto\varphi(n) என்ற சார்பிற்கு ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு அல்லது ஆய்லர் \varphi-சார்பு எனப் பெயர்.

எ.கா.:

  • \varphi(6) = |\{1,5\}| = 2.
  • \varphi(20) = |\{ 1,3,7,9,11,13,17,19\}| = 8.
  • சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு: p ஒரு பகா எண்ணானால், \varphi(p) = p - 1.

டோஷண்ட் சார்பின் முதல் 100 மதிப்புகள்[தொகு]

n\, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
\varphi(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8
n\, 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
\varphi(n) 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16
n\, 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
\varphi(n) 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16
n\, 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
\varphi(n) 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32
n\, 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
\varphi(n) 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40

சார்பின் பண்புகள்[தொகு]

பெருக்குச்சார்பு[தொகு]

m, n என்ற இரண்டு நேர்ம முழு எண்கள் (1 ஐத்தவிர) பொதுக்காரணியற்றதானால்,

\varphi(m)\times \varphi(n)= \varphi(m \times n).

எ.கா.: \varphi(4)\times \varphi(15) = 2 \times 8 = 16 = \varphi(60)

பகா எண்ணின் அடுக்குகள்[தொகு]

p ஒரு பகா எண்ணாகவும், k ஓர் இயல்பெண்ணாகவும் இருக்குமானால், p^k உடன் காரணிகளைப் பங்கு போட்டுக்கொள்ளும் எண்கள் p-இனுடைய அடுக்குகள் மட்டுமே. அவைகளில் p^k ஐவிடப் பெரியதல்லாதவை : 1.p, 2.p, 3.p, ..., p^{k-1}.p. இதனால்,

\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1) = p^k\left(1 - \frac{1}{p}\right)

எ.கா.: \varphi(81) = \varphi(3^4) = 3^4 - 3^3 = 3^4\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 54

சார்பிற்குப் பொது வாய்பாடு[தொகு]

n = \prod_{p|n} p^{k_p}
\varphi(n) = \prod_{p|n}p^{k_p - 1}(p - 1) = n \prod_{p|n}\left(1 - \frac{1}{p}\right)

கணிப்பு[தொகு]

\varphi(60) = \varphi(5.2^2.3) = 60.\left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 16