ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு

கணிதத்தில், குறிப்பாக எண் கோட்பாட்டில்,ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு ஒரு முக்கியமான சார்பு.

வரையறை

$n$ ஒரு நேர்ம முழு எண் ணானால், $n$-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், $n$-ஐப் பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,$n$-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கை $\varphi(n)$ எனப்படும். $\varphi: n\mapsto\varphi(n)$ என்ற சார்பிற்கு ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு அல்லது ஆய்லர் $\varphi$-சார்பு எனப் பெயர்.

எ.கா.:

• $\varphi(6) = |\{1,5\}| = 2.$

• $\varphi(20) = |\{ 1,3,7,9,11,13,17,19\}| = 8$.

• சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு: $p$ ஒரு பகா எண்ணானால், $\varphi(p) = p - 1$.

டோஷண்ட் சார்பின் முதல் 100 மதிப்புகள்

$n\,$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$\varphi(n)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8
$n\,$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
$\varphi(n)$	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24	16
$n\,$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
$\varphi(n)$	40	12	42	20	24	22	46	16	42	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58	16
$n\,$	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
$\varphi(n)$	60	30	36	32	48	20	66	32	44	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78	32
$n\,$	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
$\varphi(n)$	54	40	82	24	64	42	56	40	88	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60	40

சார்பின் பண்புகள்

பெருக்குச்சார்பு

$m, n$ என்ற இரண்டு நேர்ம முழு எண்கள் (1 ஐத்தவிர) பொதுக்காரணியற்றதானால்,

$\varphi(m)\times \varphi(n)= \varphi(m \times n).$

எ.கா.: $\varphi(4)\times \varphi(15) = 2 \times 8 = 16 = \varphi(60)$

பகா எண்ணின் அடுக்குகள்

$p$ ஒரு பகா எண்ணாகவும், $k$ ஓர் இயல்பெண்ணாகவும் இருக்குமானால், $p^k$ உடன் காரணிகளைப் பங்கு போட்டுக்கொள்ளும் எண்கள் $p$-இனுடைய அடுக்குகள் மட்டுமே. அவைகளில் $p^k$ ஐவிடப் பெரியதல்லாதவை : $1.p, 2.p, 3.p, ..., p^{k-1}.p$. இதனால்,

$\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1) = p^k\left(1 - \frac{1}{p}\right)$

எ.கா.: $\varphi(81) = \varphi(3^4) = 3^4 - 3^3 = 3^4\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 54$

சார்பிற்குப் பொது வாய்பாடு

$n = \prod_{p|n} p^{k_p}$

$\varphi(n) = \prod_{p|n}p^{k_p - 1}(p - 1) = n \prod_{p|n}\left(1 - \frac{1}{p}\right)$

கணிப்பு

$\varphi(60) = \varphi(5.2^2.3) = 60.\left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 16$