கணம் (கணிதம்)

கணிதத்தில், கணம் (ஒலிப்பு^ⓘ) அல்லது தொடை (set) என்பது பல்வேறு பொருட்களின் திரட்டு அல்லது தொகை ஆகும். இது மிகவும் எளிய கருத்தாகத் தோன்றினாலும், கணிதத்தின் ஆழம் உடைய ஓர் அடிப்படைக் கருத்துருக்களில் ஒன்றாக விளங்குகிறது. கணம் அல்லது தொடை என்பதில் உள்ள பொருட்களை உறுப்புகள் என்பர். எடுத்துக்காட்டாக, 4, 7, 9 ஆகிய எண்களை ஒரு தொகுதியாகக் கொண்டு அதனை C என்னும் பெயர் கொண்ட ஒரு கணமாகக் கொண்டால், C யின் உறுப்புகள் 4, 7, 9 என்பன ஆகும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளை நெளிந்த அடைப்புக் குறிகளுக்கு இடையே குறிப்பது வழக்கம். எடுத்துக்காட்டாக, C என்னும் கணத்தை C = {4, 7, 9} என்று குறிப்பர். கணத்தில் அளவிடக்கூடிய எண்ணிக்கையுடைய உறுப்புகள் இருப்பவையும் உண்டு, அளவிட இயலா எண்ணிக்கை உடைய உறுப்புகள் கொண்டவையும் உண்டு. ஒல்லத்தக்க (இயலக்கூடிய) கணங்களின் அமைப்புகளையும் தொடர்புகளையும் பற்றிய கோட்பாடுகளுக்குக் கணக் கோட்பாடு என்று பெயர். இத்துறை மிகவும் வளமையானது.

கணக் கோட்பாடு, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட போதிலும், இது தொடக்க வகுப்புக்களிலேயே அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு, கணிதக் கல்வியில் எங்கும் காணப்படும் ஒரு பகுதியாக ஆகியுள்ளது. தற்காலக் கணிதக் கல்விக்குப் பயன்படும் அடிப்படைக் கணித மொழிகளில் இது முக்கியமான ஒன்றாகும்.

வரைவிலக்கணம்

கணம் அல்லது தொடை என்பது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் ஒரு தொகுப்பு ஆகும். கணமொன்றிலுள்ள பொருள்கள் உறுப்புகள் (elements) எனப்படுகின்றன. கணமொன்றின் உறுப்புகள், எண்கள், மக்கள், எழுத்துகள், வேறு கணங்கள் என எதுவாகவும் இருக்கலாம். கணங்களை A, B, C, முதலிய ஆங்கில அகர வரிசையின் பெரிய (தலைப்பு) எழுத்துக்களினால் குறிப்பது மரபு. A யும் B யும் ஆகிய இரண்டு கணங்களும் ஒரே உறுப்புக்களைக் கொண்டிருப்பின், அவையிரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று ஈடாகும் (சமனாகும்)^[1]. அதாவது A யில் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் B யில் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஈடு (=சமம்) எனின் A = B எனக் குறிக்கப்படும்.

அன்றாட வாழ்க்கையின் பொருட்தொகுப்புகள் அல்லது பல்கு கணங்களில் உள்ளதைப் போல ஒரு கணத்தில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உறுப்புகள் ஒத்ததாக இருத்தல் கூடாது.

வாய்ப்பாடு

கணங்களை விவரித்தல் முறை, பட்டியல் முறை, கணக் கட்டமைப்பு முறை ஆகியவற்றின் மூலம் குறிக்கலாம்.

விவரித்தல் அல்லது வருணனை முறை

கணங்களை அவற்றின் உறுப்புகளின் பண்பினை விளக்கும் சொற்களைக் கொண்டு குறிக்கும் முறை விவரித்தல் முறை அல்லது வருணனை முறை (Desciption Methed) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக:

A = முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட கணம்.

B = இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட கணம்.

பட்டியல் முறை

நெளிந்த அடைப்புக் குறிக்குள் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுவதன் மூலம் (Listing Method) கணங்களை விளக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {காவி, வெள்ளை, பச்சை, நீலம்}

ஏராளமான உறுப்புகளைக் கொண்ட பெரிய கணங்களைப் பொறுத்தவரை, அத்தனை உறுப்புகளையும் ஒவ்வொன்றாக எழுதிப் பட்டியலிடுதல் செயல்முறையில் மிகவும் கடினமானது. எடுத்துக்காட்டாக, E = {முதல் ஆயிரம் நேர்ம முழு எண்கள்} என்பதைப் பட்டியல் இடுவதென்பது எழுதுபவருக்கும், அதனை வாசிப்பவருக்கும்கூட மனச்சோர்வூட்டுகின்ற வேலையாகும். எனினும் ஒரு கணிதவியலாளர் இவ்வாறு பட்டியலிடுவதில்லை என்பதுடன், சொற்களாலும் விரித்துரைப்பதில்லை. மாற்றாகச் சுருக்கமான குறியீட்டு முறையில் பின்வருமாறு எழுதுவார்:

E = {1, 2, 3, ..., 1000}

வாசிப்பவருக்குப் புரியக்கூடிய வகையில் ஒழுங்குமுறையில் அமைந்த உறுப்புக்களைக் கொண்ட E போன்ற கணமொன்றைப் பொறுத்தவரை, பட்டியலைச் சுருக்கக் குறியீடாக எழுதி விளக்க முடியும். முழுப் பட்டியலும் எச்சப்புள்ளி (...) குறியீட்டைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கப்பட்டுள்ளது.

முடிவுறாக் கணங்களையும் முப்புள்ளியைப் பயன்படுத்தி விளக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக:

அனைத்து இரட்டை முழுவெண்களின் கணம்:

{2, 4, 6, 8, ... }.

இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும்போது, ஒழுங்குமுறை தெளிவாகப் புரியும் வகையில் போதிய அளவு உறுப்புகள் காட்டப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழேயுள்ள கணம் முதல் பதினாறு முழு எண்களையோ அல்லது இரண்டின் முதல் ஐந்து அடுக்குகளையோ குறிக்கக் கூடும்:

X = {1, 2, ..., 16}

அமைந்திருக்கும் ஒழுங்குமுறை இலகுவில் புரிந்துகொள்ள முடியாதபடி அமையுமாயின், மேற்காட்டிய சுருக்கிய பட்டியலின் பயன்பாட்டைத் தவிர்ப்பது நல்லது. எடுத்துக்காட்டாக,

F = {–4, –3, 0, ..., 357}

என்பதை வாசிக்கும்போது இக்கணமானது,

F = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்},

என்பது வெளிப்படையாகவோ தெளிவாகவோ தெரியவில்லை. இக்குறைபாட்டைக் கணக்கட்டமைப்பு முறை நிவர்த்தி செய்கிறது.

கணிதக்கட்டமைப்பு முறை

ஒரு கணத்திலுள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் பண்புகளை நிறைவு செய்யும் வகையில் அமைவது கணிதக்கட்டமைப்பு முறையாகும் (Set Builder Notation). கணிதக்கட்டமைப்பு முறையில் கணத்தை விளக்குவதற்கு கணிதக் குறியீடுகளும் சில மரபான குறிப்பு மொழிகளும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக:

F = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்} - வருணனை முறை

F = {–4, –3, 0, ..., 357} - பட்டியல் முறை

F = {

n^{2}

– 4 : n ஒரு முழு எண், மற்றும் 0 ≤ n ≤ 19} -கணக்கட்டமைப்பு முறை

கணக்கட்டமைப்பு முறையில் பயன்படுத்தப்படும் முக்கால் புள்ளி அல்லது விளக்கக்குறி (:) என்பதனை "எப்படி எனில்" அல்லது ஆங்கிலத்தில் such that என்று படிக்க வேண்டும்.

கணக்கட்டமைப்பு முறையை வாசிக்க வேண்டிய விதம்:

“மேற்கண்ட F என்னும் கணத்தின் உறுப்புகளாவன $n^{2}$ – 4 என்னும் வகையான எண்களாகும்; எப்படி எனில் n என்னும் முழு எண்ணானது, 0 முதல் 19 வரை, இவ்விரு எண்களும் உட்பட, உள்ள எண்களாகும்”.

முக்கால் புள்ளி (:)என்னும் விளக்கக் குறிக்குப் பதிலாக சில நேரங்களில் பைப் (pipe) என்னும் நெடுங்கோடும் | குறியாகப் பயன்படுத்தப்படும்.

குறிப்புகள்

ஒரே கணத்தை இரண்டு விதங்களிலும் குறிக்கமுடியும்.

எடுத்துக்காட்டாக, மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ள கணங்களுள் A , C இரண்டும் ஒரே கணத்தின் இரு வெவ்வேறான உருவகிப்புகளாகும்.

A = C ஆகும்.

இதேபோல, B , D இரண்டும் ஒரே கணத்தின் இரு வெவ்வேறான உருவகிப்புகளாகும்.

B = D

கணங்களுக்கிடையே முற்றொருமையானது கண உறுப்புகளின் வரிசை ஒழுங்கிலோ அல்லது ஒரே உறுப்பு திரும்பத் திரும்ப வருவதிலோ தங்கியிருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக,

{3, 9} = {9, 3} = {9, 9, 3, 9}.

கணத்தின் உறுப்பு

ஒரு பொருள் ஒரு கணத்தினுள் உள்ள ஓர் உறுப்பு என்றோ அல்லது ஓர் உறுப்பு அல்ல என்றோ குறிக்கக் கீழ்க்காணும் குறிவடிவுகளை முறையே பயன்படுத்துவர். $\in$ and $\notin$ . எடுத்தக்காட்டாக, மேலே A என்னும் கணத்தைப் பார்த்தால் அதில் 4 என்பது A யில் உள்ள ஓர் உறுப்பு என அறியலாம். எனவே அதனைக் கீழ் காணுமாறு குறிப்பர்.

$4\in A$

அதே போல 285 என்னும் எண் F என்னும் கணத்தில் உள்ள ஓர் உறுப்பு. அதனைக்காட்ட

$285\in F$ (since 285 = 17² − 4); என எழுதுவர்.

ஆனால் ஒரு பொருள் உறுப்பு அல்ல என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிப்பர்

$9\notin F$ and $\mathrm {green} \ \notin B$ . (இந்தியக் கொடியில் பச்சை ஒரு நிறம் இல்லை).

கணங்களின் எண்ணளவை

S கணத்தின் எண்ணளவை (Cardinality of a set), | S | என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும்.

மேலே விரித்துரைக்கப்பட்ட கணங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையுள்ள உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக,

கணம் A நான்கு உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே | A | = 4.

ஒரு கணம் உறுப்புகள் எதுவுமற்ற கணமாகவும் இருத்தல் கூடும். அத்தகைய கணம் வெற்றுக் கணம் எனப்படும். இது ø அல்லது {}என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று பக்கங்களையுடைய சதுரங்களின் கணம் A என்று கூறினால் A என்பது உறுப்புகள் எதுவுமற்ற கணம் ஆகும். A = ø ஆகும். வெற்றுக் கணத்தின் எண்ணளவை பூச்சியமாகும்.

ஒரு கணம் முடிவிலி எண்ணிக்கையான உறுப்புகளையும் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எல்லா இயல்பெண்களினது கணம் ஒரு முடிவிலியாகும். முடிவுறாக் கணங்கள் முடிவிலி எண்ணளவை கொண்டவை.

n உறுப்புகள் உள்ள ஒரு கணத்தை n-கணம் என்று சொல்லும் வழக்கமும் உண்டு.

உட்கணங்கள்

A என்னும் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் B என்னும் வேறு ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக இருப்பின், A என்னும் கணமானது B என்னும் கணத்தின் உட்கணம் (Subset) எனப்படும். இதனைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிவடிவில் குறிப்பர். $A\subseteq B$ . இதனைப் படிக்கும் பொழுது A ஆனது B யுள் அடங்கும். அல்லது A ஆனது B யின் உட்கணம்.

வெற்றுக்கணம் எல்லா கணங்களின் உட்கணம் ஆகும். அதேபோல எல்லாக் கணங்களும் அதனதனுடைய உட்கணமும் ஆகும்.

$\emptyset \subseteq A$
$A\subseteq A$

தக்க உட்கணம்

A என்னும் கணம் B யின் உட்கணமாக இருந்து B -க்கு ஈடாக (சமமாக) இல்லாமல் இருந்தால், A ஆனது B யின் தக்க உட்கணம் அல்லது தகு உட்கணம் (proper subset) என்பர். இதனை கீழ்க்காணுமாறு எழுதுவர். $A\subset B$ (A என்பது B யின் தக்க உட்கணம்) அல்லது $B\supset A$ (B ஆனது A யின் தக்க கொள்ளும் கணம்). என்றாலும் சில கணித எழுத்துக்களில் இக்குறியீடுகள் ஒரே மாதிரியாகவே படிப்பர். $\subseteq$ மற்றும் $\supseteq$ , எனவே தக்க உட்கணங்களைத் தெளிவாக உணர்த்துவதற்கு பிரித்தறியும் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தல் நலம். $\subsetneq$ மற்றும் $\supsetneq$

A ஆனது B யின் உட்கணம்

எடுத்துக்காட்டுகள்:

T எல்லா ஆண்களையும் கொண்ட கணமானது மாந்தர்கள் எல்லாம் கொண்ட கணத்தின் தக்க உட்கணம் ஆகும்.
$\{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}$
$\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$

மேற்கணம்

வேறொரு ஈடான (சமமான) முறையில் சொல்வதானால் $B\supseteq A$ ; அதாவது இதனைப் படிக்கும் பொழுது 'B ஆனது A யைக் கொள்ளும் கணம் ., அல்லது 'B ஆனது A யைச் சூழும் கணம் " அல்லது B ஆனது A யை அடக்குக் கணம் என்று படித்தல் வேண்டும். இந்த கணிதத் தொடர்பை உட்கொள்ளுமை அல்லது அடக்குமை என்று குறிப்பர். B யை A யின் மேற்கணம் (Superset) என்றும் சொல்வதுண்டு.

அடுக்கு கணங்கள்

ஒரு கணத்தின் அனைத்து உட்கணங்களையும் கொண்ட கணமானது, (வெற்றுக்கணத்தையும் அதே கணத்தையும் சேர்த்து) அக்கணத்தின் அடுக்கு கணம் (Power set) என அழைக்கப்படுகிறது. கணம் $S$ ன் அடுக்கு கணத்தினை ${\mathcal {P}}(S)$ , P(S), ℘(S) என்ற குறியீடுகளால் குறிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

{1, 2, 3} கணத்தின் அடுக்கு கணம்: {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}.

$S$ கணத்தின் எண்ணளவை | $S$ | = n எனில், அடுக்கு கணத்தின் எண்ணளவை, $|{\mathcal {P}}(S)|=2^{n}$ ஆகும்.^[2]

முடிவுறு அல்லது முடிவுறா கணங்களின் எண்ணளவைகளை விட அவற்றின் அடுக்கு கணங்களின் எண்ணளவைகள் கண்டிப்பாக அதிகமானவையாக இருக்கும். எண்ணுறு முடிவிலா கணங்களின் அடுக்கு கணங்கள் எண்ணுறா முடிவிலா கணங்களாக அமையும்.

S இன் ஒவ்வொரு பிரிவினை கணமும் S இன் அடுக்கு கணத்தின் உட்கணமாக இருக்கும்.

சிறப்புக் கணங்கள்

அதிக அளவு இன்றியமையாமை காரணமாகவும், அடிக்கடி புழங்கப்படுவதாலும், சில கணங்கள் சிறப்புப் பெயர்களால் அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றுள் ஒன்று வெற்றுக் கணம் ஆகும். எண்களைக் கொண்ட சில சிறப்புக் கணங்களாவன:

$\mathbb {N}$ என்பது, எல்லா இயல்பெண்களினதும் கணத்தைக் குறிக்கின்றது. அதாவது, $\mathbb {N}$ = {1, 2, 3, ...}, அல்லது, சில சமயங்களில் $\mathbb {N}$ = {0, 1, 2, 3, ...}.
$\mathbb {Z}$ என்பது, எல்லா முழுஎண்களினதும் (integers) கணத்தைக் குறிக்கின்றது. (நேர், எதிர், சூனியம் எதுவாயினும்). ஆகவே $\mathbb {Z}$ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
$\mathbb {Q}$ என்பது, எல்லா விகிதமுறு எண்களினதும் (rational number) கணத்தைக் குறிக்கும். (that is, the set of all proper and பின்னம்s). ஆகவே, $\mathbb {Q}$ = { ${\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}$ : a,b $\in \mathbb {Z}$ and b ≠ 0}. எடுத்துக்காட்டாக, ${\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q}$ and ${\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q}$ . ஒவ்வொரு முழு எண் a உம் ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கப்படலாம் என்பதால், எல்லா முழு எண்களும் இந்தக் கணத்தில் உள்ளன. ${\begin{matrix}{\frac {a}{1}}\end{matrix}}$ .
$\mathbb {R}$ என்பது எல்லா மெய்யெண்களினதும் கணமாகும். இந்தக் கணம் எல்லா விகிதமுறு எண்களையும், (rational numbers) அத்துடன் எல்லா விகிதமுறா எண்களையும் (irrational numbers) உள்ளடக்கியுள்ளது. (அதாவது, $\pi ,$ $e,$ and √2 என்பவை போலப் பின்னங்களாக எழுத முடியாத எண்கள்).
$\mathbb {C}$ என்பது எல்லாச் சிக்கலெண்களினதும் (complex number) கணம்.

இந்த எண்களைக் கொண்ட கணங்கள் ஒவ்வொன்றும், முடிவிலி எண்ணளவுகளைக் கொண்டது. அத்துடன், $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ .

அடிப்படைச் செயல்கள்

ஒன்றிப்புகள்

ஏற்கெனவேயுள்ள கணங்களிலிருந்து புதிய கணங்களை உருவாக்குவதற்குப் பல வழிகள் உள்ளன. இரண்டு கணங்களைக் "கூட்ட" முடியும். A இனதும் B இனதும் ஒன்றிப்பு A U B என்பதால் குறிக்கப்படும். இதுவே A அல்லது B இன் உறுப்புக்களாக இருந்த எல்லாப் பொருட்களையும் கொண்ட கணமாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

{1, 2} U {சிவப்பு, வெள்ளை} = {1, 2, சிவப்பு, வெள்ளை}
{1, 2, green} U {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {1, 2, சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை}
{1, 2} U {1, 2} = {1, 2}

ஒன்றிப்பின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

A U B = B U A
A is a subset of A U B
A U A = A
A U ø = A

வெட்டுகள்

கணங்களுக்கு இடையே உள்ள பொது உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு புதுக் கணம் பெற முடியும். இதற்கு வெட்டுதல் (Intersection) என்று பெயர். A என்னும் கணமும் B என்னும் கணமும் வெட்டு உற்றால் கிடக்கும் கணத்தில் உள்ள உறுப்புகள் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டிற்கும் பொதுவாக உள்ள உறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டு இருக்கும். A யும் B யும் வெட்டுதலை A ∩ B என்று குறிப்பர். . A ∩ B = ø, என்றால் A யும் B யும் தொடர்பற்றவை. (disjoint).

எடுத்துக்காட்டுகள்:

{1, 2} ∩ {சிவப்பு, வெள்ளை} = ø
{1, 2, green} ∩ {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {பச்சை}
{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

வெட்டுக்களின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

A ∩ B = B ∩ A
A ∩ B என்னும் கணம் A இன் உட்கணம் ஆகும்.
A ∩ A = A
A ∩ ø = ø

நிரப்பிகள்

இரு கணங்கள் ஒன்றில் இருந்து ஒன்றை கழிக்க முடியும். கழிக்கப்பட்ட கணம் முதல் கணத்தின் நிரப்பிக் கணம் (Complement set) எனப் பெயர் கொள்ளும். அதாவது A என்னும் கணத்தின் ஒப்பீட்டு நிரப்பிக் கணம் B என்பதை B − A, (or B \ A) எனக் குறிப்பர். இந்த B − A, (or B \ A) என்னும் கணமானது A யில் இல்லாது ஆனால் B யில் மட்டும் உள்ள எல்லா உறுப்புகளும் கொண்ட கணமாகும். ஒரு கணத்தில் இல்லா உறுப்புகளை நீக்குதல் (கழித்தல்) ஒரு சரியான செயலே. எடுத்துக்காட்டாக green (பச்சை) என்பதை {1,2,3} என்னும் கணத்தில் இருந்து கழிக்கலாம் - இதனால் விளைவு ஏதும் இல்லை (ஏனெனில் இல்லாததைத்தானே நீக்குகிறோம்!).

சில நேரங்களில் எல்லாக் கணங்களும் ஒரு அனைத்துக்கணம், U , என்று வரையறை செய்யப்பட்ட கணத்தின் உட்கணங்களாகக் கொள்ளப்படும். அப்படிப்பட்ட சூழல்களில், U − A, எனப்படுவது முழு நிரப்பி ( absolute complement) எனப்படும் அல்லது A யின் நிரப்பி என்று கூறப்படும். இதனை A′ எனக் குறிப்பர்.

B இல் A இன் சார் நிரப்பி

U -இல் A—இன் நிரப்பி

எடுத்துக்காட்டுகள்:

{1, 2} − {சிவப்பு, வெள்ளை} = {1, 2}
{1, 2, பச்சை} − {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {1, 2}
{1, 2} − {1, 2} = ø
U என்பது நேர்ம முழு எண்கள் எல்லாவற்றையும் கொண்ட ஒரு கணம் என்று கொண்டால், பின்னர் E என்னும் கணம் இரட்டைப்படை எண்களைக் குறிக்கும் என்றும், O என்னும் கணம் ஒற்றைப்படை எண்களைக் குறிக்கும் என்றும் கொண்டால் U வில் E யின் நிரப்பியானது O ஆகும், வேறு வகையில் ஈடாகக் கூற வேண்டுமெனில் E′ = O எனலாம்.

நிரப்பிகளின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

A U A′ = U
A ∩ A′ = ø
(A′ )′ = A
A − A = ø
A − B = A ∩ B′

கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்

கணம் $A$ மற்றும் கணம் $B$ என்ற இருகணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் குறியீடு $A\times B$ ஆகும். இந்தக் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலானது வரிசைச் சோடிகளாலான (வரிசை இருமங்கள்) கணமாக அமையும். இக்கணத்திலுள்ள வரிசைச் சோடிகளின் முதல் உறுப்பு $A$ கணத்தின் உறுப்பாகவும் இரண்டாவது உறுப்பு $B$ கணத்தின் உறுப்பாகவும் அமையும்.

a ∈ A, b ∈ B எனில் கணக் கட்டமைப்பு முறையில் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் கீழுள்ளவாறு அமையும்:

A\times B=\{\,(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ and }}\ b\in B\,\}.

^[3]

எடுத்துக்காட்டுகள்:

{1, 2} × {சிவப்பு, வெள்ளை} = {(1, சிவப்பு), (1, வெள்ளை), (2, சிவப்பு), (2, வெள்ளை)}.
{1, 2} × {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {(1, சிவப்பு), (1, வெள்ளை), (1, பச்சை), (2, சிவப்பு), (2, வெள்ளை), (2, பச்சை)}.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
{a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

அடிப்படைப் பண்புகள்:

A × வெற்றுக் கணம் = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

A , B இரு முடிவுறு கணங்கள் எனில் அவற்றின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் கணத்தின் எண்ணளவை A , B இன் எண்ணளவைகளின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்:

| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

டி மோர்கனின் விதி

இரு கணங்களுக்கான இரு விதிகள்:

A , B என்பன இரு கணங்கள் எனில்:

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

A ஒன்றிப்பு B இன் நிரப்பியானது A இன் நிரப்பி, B இன் நிரப்பி இரண்டின் வெட்டுக்கணமாக இருக்கும்.

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

A வெட்டு B இன் நிரப்பியானது A இன் நிரப்பி, B இன் நிரப்பி இரண்டின் ஒன்றிப்பாக இருக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

மாற்றுக் கணக் கோட்பாடு (Alternative set theory)
கணத் தொகுதி) (Class of sets))
கணித அமைப்பு (Mathematical Structure)
கணக் கோட்பாடு
பிரின்சிப்பியா மாத்தமாட்டிக்கா
தொடர்வரிசை
வகைபிரித்தல்

உசாத்துணைகள்

Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-63829-4

குறிப்புகள்

↑ Stoll, Robert (1961). Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. pp. 5. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)
↑ One can—and for small values of n, computer programmers sometimes do—represent the elements of ${\mathcal {P}}(S)$ as n-bit numbers; the mth bit refers to the presence or absence of the mth element of S in some ordering chosen by the programmer. There are 2ⁿ such numbers.
↑ Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.

வெளி இணைப்புகள்

[Stoll-1] Stoll, Robert (1961). Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. pp. 5. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)

[computer_footnote-2] One can—and for small values of n, computer programmers sometimes do—represent the elements of ${\mathcal {P}}(S)$ as n-bit numbers; the mth bit refers to the presence or absence of the mth element of S in some ordering chosen by the programmer. There are 2ⁿ such numbers.

[3] Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.

[1]

[2]

[3]