நிரப்பு கணம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search

கணக் கோட்பாட்டில், ஒரு கணத்தின் நிரப்பு கணம் அல்லது நிரப்பி (complement set, complement) என்பது அக்கணத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் கணமாகும்.

A , B என்ற இரு கணங்களை எடுத்துக் கொண்டால், B ஐப் பொறுத்து A இன் நிரப்பி என்பது, A இல் இல்லாத ஆனால் B இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம். இது சார் நிரப்பு கணம் எனப்படும்.
A மற்றும் தேவைக்காக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட எல்லா கணங்களையும் உட்கணங்களாகக் கொண்ட கணம் U அவற்றின் அனைத்து கணம் எனப்படும். இந்த அனைத்து கணத்தைப் பொறுத்து A இன் நிரப்பு கணம் என்பது, A இல் இல்லாத ஆனால் U இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம் ஆகும். இந்த நிரப்பு கணம் தனி நிரப்பு கணம் (absolute complement) எனப்படும்.

சார் நிரப்பி[தொகு]

A , B இரு கணங்கள் எனில்,B ஐப் பொறுத்து A இன் சார் நிரப்பி என்பது, A இல்லாத ஆனால் B இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம்[1]. இக்கணம் B , A இன் கணக் கோட்பாட்டு வித்தியாசம் (set-theoretic difference) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது[2].

A (இடது வட்டம்) இன், B (வலது வட்டம்) ஐப் பொறுத்த சார் நிரப்பு கணம்:

ISO 31-11 தரப்படி இதன் குறியீடு BA

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

= விகிதமுறா எண்களின் கணம்.

பண்புகள்[தொகு]

சேர்ப்பு, வெட்டு ஆகிய கணச் செயலிகளுடன் சார் நிரப்பியின் சில பண்புகள்:

A, B, C மூன்று கணங்கள் எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமைகள் உண்மையாகும்:

  • C ∖ (A ∩ B)  =  (C ∖ A)∪(C ∖ B)
  • C ∖ (A ∪ B)  =  (C ∖ A)∩(C ∖ B)
  • C ∖ (B ∖ A)  =  (C ∩ A)∪(C ∖ B)

(மாற்று வழி: A ∖ (B ∖ C)  =  (A ∖ B)∪(A ∩ C) )

  • (B ∖ A) ∩ C  =  (B ∩ C) ∖ A  =  B∩(C ∖ A)
  • (B ∖ A) ∪ C  =  (B ∪ C) ∖ (A ∖ C)
  • A ∖ A  =  Ø
  • Ø ∖ A  =  Ø
  • A ∖ Ø  =  A

தனி நிரப்பி[தொகு]

U ஐப் பொறுத்த A இன் தனி நிரப்பி : Ac = U \ A

அனைத்து கணம் U வரையறுக்கப்பட்டால், U இல் A இன் சார் நிரப்பி கணம் A இன் தனி நிரப்பி கணம் ஆகும். அதன் குறியீடு Ac அல்லது A. U நிலையானது எனில், இந்த நிரப்பி கணம் அல்லது எனவும் குறிக்கப்படும்[3]:

Ac  = U ∖ A.

எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண்களின் கணத்தை அனைத்து கணமாகக் கொண்டால், ஒற்றை முழுஎண்கள் கணத்தின் நிரப்பி கணமாக இரட்டை முழுஎண்களின் கணமாகும்.

பண்புகள்[தொகு]

சேர்ப்பு, வெட்டு ஆகிய கணச் செயலிகளுடன் தனி நிரப்பியின் சில பண்புகள்:

U இன் உட்கணங்கள் A, B எனில், கீழ்வரும் முற்றொருமைகள் உண்மையாகும்:

த மோர்கனின் விதி:[1]
நிரப்பி விதிகள்:[1]
சுருள்வு அல்லது இரட்டை நிரப்பி விதி:
சார் நிரப்பிக்கும் தனி நிரப்பிக்குமுள்ள தொடர்பு:
கண வித்தியாசத்துடன் தொடர்பு:

முதல் இரண்டு நிரப்பி விதிகளிலிருந்து,

U இன் வெற்றற்ற, முறையான உட்கணமாக A இருந்தால், {A, Ac} என்பது U இன் பிரிவினை ஆகும்.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. 1.0 1.1 1.2 Halmos (1960) p.17
  2. Devlin (1979) p.6
  3. Bourbaki p. E II.6
  • Paul Halmos (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. 
  • Keith Devlin (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. 
  • Nicolas Bourbaki (1970) (in french). Théorie des ensembles. Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8. 

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=நிரப்பு_கணம்&oldid=2022535" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது