உட்கணம்
கணிதத்தில், குறிப்பாகக் கணக் கோட்பாட்டில், A என்னும் ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் B என்னும் இன்னொரு கணத்தில் அமைந்திருந்தால், A கணமானது B இன்உட்கணம் (Subset) என்று வழங்கப்படும். சமானமாக, B கணமானது A கணத்தின் மேற்கணம் அல்லது மிகை கணம் (superset) எனப்படும். A , B ஆகிய இரு கணங்களும் ஒன்றிடனொன்று ஒன்றலாம்.
உட்கண உறவானது கணங்களின் மீது ஒரு பகுதி வரிசையை (partial order) வரையறுக்கும். உட்கணங்களின் இயற்கணிதமானது, உட்கண உறவை ”உள்ளடக்கலாகக்” (inclusion) கருதும் பூலிய இயற்கணிதத்தை உருவாக்கும்.
வரையறை
[தொகு]பொதுவாகக் கணம் என்பது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கும். உட்கணமும் ஒரு கணத்தையே குறிக்கும். B என்பது ஒரு வெற்றற்ற கணம் என்க. அதில் A என்பது B யின் உட்கணம் எனில், A யில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் B யின் உறுப்பாகும். மாறாக, B ஆனது A யின் மிகைக் கணம் அல்லது மேற்கணம் எனவும் அழைக்கலாம்.
- A இன் உறுப்பு ஒவ்வொன்றும் B இன் உறுப்பாகவும் இருந்தால், A என்பது B இன் உட்கணம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
இதன் குறியீடு:
- ,
- இதற்குச் சமானமாகப் B என்பது Aஇன் மிகைக் கணம் அல்லது மேற்கணம் எனவும் வரையறுக்கப்படும்.
குறியீடு:
பண்புகள்
[தொகு]- ஒரு முடிவுறு கணம் A , மற்றுமொரு கணம் B இரண்டின் வெட்டு கணத்தின் எண்ணளவையும், A இன் எண்ணளவையும் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A ஆனது B இன் உட்கணமாக இருக்கும். அதாவது,
- என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஆகும்.
- A ⊆ B ; B ⊆ C எனில் A ⊆ C ஆக இருக்கும்.
⊂ , ⊃ குறியீடுகள்
[தொகு]உட்கணம் மற்றும் மிகைக்கணம் இரண்டையும் குறிப்பதற்குச் சில நூலாசிரியர்கள் ⊊ and ⊋ என்பவற்றுக்குப் பதில் ⊂ , ⊃ என்ற குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.[1] எடுத்துக்காட்டாக, இவர்களைப் பொறுத்தவரை ஒவ்வொரு கணம் A க்கும், A ⊂ A.
வேறுசிலர் தகு உட்கணம், தகு மிகைக்கணம் இரண்டையும் குறிப்பதற்கு ⊊ , ⊋ குறிகளுக்குப் பதில் முறையே ⊂ , ⊃ இரண்டையும் பயன்படுத்துகின்றனர்.[2]
எடுத்துக்காட்டுகள்
[தொகு]- A = {1, 2} ஆனது B = {1, 2, 3} இன் தகு உட்கணமாகும். எனவே A ⊆ B , A ⊊ B என்ற இரு குறியீடுகளுமே உண்மையாகும்.
- D = {1, 2, 3} ஆனது E = {1, 2, 3} இன் உட்கணமாகும். எனவே D ⊆ E உண்மை; D ⊊ E உண்மையில்லை.
- எந்தவொரு கணமும் தனக்குத்தானே உட்கணமாக இருக்கும், ஆனால் தகு உட்கணமாக இருக்காது. (X ⊆ X என்பது உண்மை, ஆனால் X ⊊ X உண்மையில்லை.)
- எந்தவொரு கணத்துக்கும் வெற்றுக் கணம் (∅) ஒரு உட்கணமாக இருக்கும். வெற்றுக்கணமானது தன்னைத் தவிரப் பிற கணங்கள் அனைத்திற்கும் தகு உட்கணமாக இருக்கும்.
- {x: x ஒரு பகா எண்; x > 10} என்பது {x: x ஒரு ஒற்றையெண்; x > 10} என்ற கணத்தின் தகு உட்கணமாகும்.
- இயல் எண்களின் கணமானது விகிதமுறு எண்களின் கணத்தின் தகு உட்கணமாகும்;கோட்டுத்துண்டிலுள்ள புள்ளிகளின் கணமானது ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த புள்ளிகளின் கணத்தின் தகு உட்கணமாகும். இவ்விரு எடுத்துக்காட்டுகளிலும் முழு கணங்களும் உட்கணங்களும் முடிவிலி கணங்களாகவும் சமமான எண்ணளவைகள் கொண்டவையாகவும் இருக்கும்.
- ஆய்லர் படத்தில் மற்றுமொரு எடுத்துக்காட்டு:
-
A ஆனது B இன் தகு உட்கணம்
-
C ஆனது B இன் உட்கணம், ஆனால் தகு உட்கணமல்ல.
மேற்கோள்கள்
[தொகு]- ↑ Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, p. 6, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-07-054234-1, MR 0924157
- ↑ Subsets and Proper Subsets (PDF), archived from the original (PDF) on 2013-01-23, பார்க்கப்பட்ட நாள் 2012-09-07
- Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-540-44085-2.
வெளியிணைப்புகள்
[தொகு]- Weisstein, Eric W., "Subset", MathWorld.