உட்கணம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search
B இன் தகு உட்கணம் A; மறுதலையாக A இன் தகு மேற்கணம் B என்பதை விளக்கும் ஆய்லர் படம்.

கணிதத்தில், குறிப்பாகக் கணக் கோட்பாட்டில், A என்னும் ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் B என்னும் இன்னொரு கணத்தில் அமைந்திருந்தால், A கணமானது B இன்உட்கணம் (Subset) என்று வழங்கப்படும். சமானமாக, B கணமானது A கணத்தின் மேற்கணம் அல்லது மிகை கணம் (superset) எனப்படும். A , B ஆகிய இரு கணங்களும் ஒன்றிடனொன்று ஒன்றலாம்.

உட்கண உறவானது கணங்களின் மீது ஒரு பகுதி வரிசையை (partial order) வரையறுக்கும். உட்கணங்களின் இயற்கணிதமானது, உட்கண உறவை ”உள்ளடக்கலாகக்” (inclusion) கருதும் பூலிய இயற்கணிதத்தை உருவாக்கும்.

வரையறை[தொகு]

பொதுவாகக் கணம் என்பது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கும். உட்கணமும் ஒரு கணத்தையே குறிக்கும். B என்பது ஒரு வெற்றற்ற கணம் என்க. அதில் A என்பது B யின் உட்கணம் எனில், A யில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் B யின் உறுப்பாகும். மாறாக, B ஆனது A யின் மிகைக் கணம் அல்லது மேற்கணம் எனவும் அழைக்கலாம்.

A இன் உறுப்பு ஒவ்வொன்றும் B இன் உறுப்பாகவும் இருந்தால், A என்பது B இன் உட்கணம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

இதன் குறியீடு:

,
இதற்குச் சமானமாகப் B என்பது Aஇன் மிகைக் கணம் அல்லது மேற்கணம் எனவும் வரையறுக்கப்படும்.

குறியீடு:

பண்புகள்[தொகு]

A ⊆ B ; B ⊆ C எனில் A ⊆ C
  • ஒரு முடிவுறு கணம் A , மற்றுமொரு கணம் B இரண்டின் வெட்டு கணத்தின் எண்ணளவையும், A இன் எண்ணளவையும் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A ஆனது B இன் உட்கணமாக இருக்கும். அதாவது,
என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஆகும்.
  • A ⊆ B ; B ⊆ C எனில் A ⊆ C ஆக இருக்கும்.

⊂ , ⊃ குறியீடுகள்[தொகு]

உட்கணம் மற்றும் மிகைக்கணம் இரண்டையும் குறிப்பதற்குச் சில நூலாசிரியர்கள் ⊊ and ⊋ என்பவற்றுக்குப் பதில் ⊂ , ⊃ என்ற குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.[1] எடுத்துக்காட்டாக, இவர்களைப் பொறுத்தவரை ஒவ்வொரு கணம் A க்கும், AA.

வேறுசிலர் தகு உட்கணம், தகு மிகைக்கணம் இரண்டையும் குறிப்பதற்கு ⊊ , ⊋ குறிகளுக்குப் பதில் முறையே ⊂ , ⊃ இரண்டையும் பயன்படுத்துகின்றனர்.[2]

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

ஒழுங்கு பல்கோணிகளின் கணமானது பல்கோணிகள் கணத்தின் உட்கணமாக அமையும்
  • A = {1, 2} ஆனது B = {1, 2, 3} இன் தகு உட்கணமாகும். எனவே A ⊆ B , A ⊊ B என்ற இரு குறியீடுகளுமே உண்மையாகும்.
  • D = {1, 2, 3} ஆனது E = {1, 2, 3} இன் உட்கணமாகும். எனவே D ⊆ E உண்மை; D ⊊ E உண்மையில்லை.
  • எந்தவொரு கணமும் தனக்குத்தானே உட்கணமாக இருக்கும், ஆனால் தகு உட்கணமாக இருக்காது. (X ⊆ X என்பது உண்மை, ஆனால் X ⊊ X உண்மையில்லை.)
  • எந்தவொரு கணத்துக்கும் வெற்றுக் கணம் (∅) ஒரு உட்கணமாக இருக்கும். வெற்றுக்கணமானது தன்னைத் தவிரப் பிற கணங்கள் அனைத்திற்கும் தகு உட்கணமாக இருக்கும்.
  • {x: x ஒரு பகா எண்; x > 10} என்பது {x: x ஒரு ஒற்றையெண்; x > 10} என்ற கணத்தின் தகு உட்கணமாகும்.
  • இயல் எண்களின் கணமானது விகிதமுறு எண்களின் கணத்தின் தகு உட்கணமாகும்;கோட்டுத்துண்டிலுள்ள புள்ளிகளின் கணமானது ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த புள்ளிகளின் கணத்தின் தகு உட்கணமாகும். இவ்விரு எடுத்துக்காட்டுகளிலும் முழு கணங்களும் உட்கணங்களும் முடிவிலி கணங்களாகவும் சமமான எண்ணளவைகள் கொண்டவையாகவும் இருக்கும்.
  • ஆய்லர் படத்தில் மற்றுமொரு எடுத்துக்காட்டு:

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Walter Rudin (1987), Real and complex analysis (3rd ), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1 
  2. Subsets and Proper Subsets, http://it.edgecombe.edu/homepage/killorant/MAT140/Module1/Subsets.pdf, பார்த்த நாள்: 2012-09-07 

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

  • Weisstein, Eric W., "Subset", MathWorld.
"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=உட்கணம்&oldid=2334308" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது