இயல் எண்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

14:05, 20 மே 2018 இல் நிலவும் திருத்தம்

மெய்யெண்களின் கணமானது (ℝ), விகிதமுறு எண்களையும் (ℚ), விகிதமுறு எண்களின் கணம் முழு எண்களையும் (ℤ), முழுவெண்கள் கணம் இயல் எண்களையும் (ℕ) உள்ளடக்கியுள்ளதை விளக்கும் படம்.

கணிதத்தில், இயல் எண் (natural number) என்பது முதல் வரிசை நேர்ம முழு எண்கள் (1, 2, 3, 4, ...) ஆகவும், எதிர்ம எண் அல்லாத முழு எண்கள் வரிசை (0, 1, 2, 3, 4, ...) ஆகவும் வரையறுக்கப்படுகின்றது. அதாவது, இயலெண் குறித்த சில வரையறைகள்^[1] இயலெண்களை 0 இலிருந்து தொடங்குகின்றன. இவ்வரையறைகளில் இயலெண்கள் எதிர்மமில்லா முழு எண்களோடு ஒத்ததாக அமைகின்றன ( $0, 1, 2, 3, \dots$ ). மேலும், இயலெண்கள் 1 இலிருந்து துவங்குவதாகக் கொள்ளும் வரையறைகளில் இயலெண்கள் நேர்ம முழுவெண்களை ஒத்து அமைகின்றன ( $1, 2, 3, \dots$ ).^[2]^[3]^[4]^[5] முந்தைய வரைவிலக்கணம் எண் கோட்பாட்டிலும், பிந்தையது கணக் கோட்பாட்டிலும் கணினி அறிவியலிலும் விரும்பப்படுகிறது.

இயல் எண்களின் கணத்தை $\mathbb {N}$ என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம். அதாவது

\mathbb {N} =\{0,1,2,3,...\}

.

இயல் எண்களுக்கு இரண்டு இயல்பான பயன்கள் உள்ளன. பொருட்களை எண்ணப் பயன்படுத்தலாம் (எ-கா:தட்டில் 4 மாம்பழங்கள் உள்ளன). மேலும் எண்ணிக்கை அளவில் எத்தனையாவது என்று வரிசைமுறைமையைக் காட்டலாம் (எ-கா:சென்னை இந்தியாவிலேயே 4 ஆவது பெரிய நகரம்). எண்ணுதலின் போது இயலெண்கள் "முதலெண் அல்லது கார்டினல் எண்"கள் முதலெண்கள் எனவும், வரிசையைக் குறிக்கும்போது அவை "வரிசை எண் அல்லது ஆர்டினல் எண்"கள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

எண் கோட்பாட்டுத் துறையில், இந்த இயல் எண்களின் வகு நிலை வகு படா நிலை என்பதைக் குறிக்கும் வகுமைப் பண்புகள் பற்றியும், பகா எண்கள் எப்படி விரவி உள்ளன என்பது பற்றியும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றது.

இயலெண்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு அதன் நீட்சியாக ஏனைய எண்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

இயலெண்களோடு முற்றொருமை உறுப்பு 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (n) கூட்டல் நேர்மாறுகளையும் (−n) சேர்த்தால் முழு எண்களின் கணம் பெறப்படுகிறது; *இயலெண்களோடு முற்றொருமை உறுப்பு 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (n) கூட்டல் நேர்மாறுகளையும் (−n), ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற இயல் எண்ணின் பெருக்கல் நேர்மாறுகளையும் (1/n) சேர்க்க விகிதமுறு எண்கள் பெறப்படுகின்றன.
இவற்றுடன் விகிதமுறா எண்கள் சேரும்போது மெய்யெண்கள் கிடைக்கின்றன.
மெய்யெண்களோடு -1 இன் வர்க்கமூலம் சேர்க்கப்படுபோது சிக்கலெண்கள் பெறப்படுகின்றன.^[6]^[7]

இச்சங்கிலித் தொடர் நீட்சிகளால் பிற எண்களுக்குள் உட்பொதிவாக இயலெண்கள் அமைகின்றன.

குறியீடு

இயலெண்களின் கணத்தை N அல்லது $ℕ$ என்ற குயீடுகளால் கணிதவியலாளர்கள் குறிக்கின்றனர். பழைய புத்தகங்களில் அரிதாக J என்ற குறியீடும் இயலெண்கள் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது.^[8] இயலெண்களின் கணம் முடிவுறா கணமாகவும். அதே சமயத்தில் எண்ணத்தக்க கணமாகவும் உள்ளது. இக்கணம் எண்ணத்தக்கது என்பதைக் குறிக்கும்வகையில் இதன் முதலெண் $ℵ 0$ என்ற குறிக்கப்படுகின்றன.^[9]

"0" சேர்க்கப்பட்ட அல்லது சேர்க்கப்படாத இயலெண்கள் கணமா என்பதைத் தெளிவுபடுத்தும்வகையாக பின்னதற்கு " $*$ " அல்லது என்ற " $+$ "மேலொட்டும், முன்னதற்கு " $>0$ " என்பது மேலொட்டு அல்லது கீழொட்டாகச் சேர்க்கப்படுகிறது.^[1]

ℕ 0 = ℕ 0 = {0, 1, 2, \dots}

ℕ * = ℕ + = ℕ 1 = ℕ >0 = {1, 2, \dots}

.

Alternatively, natural numbers may be distinguished from positive integers with the index notation, but it must be understood by context that since both symbols are used, the natural numbers contain zero.^[10]

ℕ = {0, 1, 2, \dots}

.

ℤ + = {1, 2, \dots}

.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

↑ ^1.0 ^1.1 "Standard number sets and intervals". ISO 80000-2:2009. சீர்தரத்துக்கான அனைத்துலக நிறுவனம். பக். 6. http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=31887.
↑ Weisstein, Eric W., "Natural Number", MathWorld.
↑ "natural number", Merriam-Webster.com, Merriam-Webster, பார்க்கப்பட்ட நாள் 4 October 2014
↑ (Carothers 2000) says: "ℕ is the set of natural numbers (positive integers)" (p. 3)
↑ (Mac Lane & Birkhoff 1999) include zero in the natural numbers: 'Intuitively, the set $ℕ = {0, 1, 2, ...}$ of all natural numbers may be described as follows: $ℕ$ contains an "initial" number 0; ...'. They follow that with their version of the Peano Postulates. (p. 15)
↑ (Mendelson 2008) says: "The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers." (Preface, p. x)
↑ (Bluman 2010): "Numbers make up the foundation of mathematics." (p. 1)
↑ Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. பக். 25. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-07-054235-8. https://archive.org/details/1979RudinW.
↑ Weisstein, Eric W., "Cardinal Number", MathWorld.
↑ Grimaldi, Ralph P. (2003). A review of discrete and combinatorial mathematics (5th ). Boston, MA: Addison-Wesley. பக். 133. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0201726343.

[ISO80000-1] 1.0 ^1.1 "Standard number sets and intervals". ISO 80000-2:2009. சீர்தரத்துக்கான அனைத்துலக நிறுவனம். பக். 6. http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=31887.

[2] Weisstein, Eric W., "Natural Number", MathWorld.

[3] "natural number", Merriam-Webster.com, Merriam-Webster, பார்க்கப்பட்ட நாள் 4 October 2014

[4] (Carothers 2000) says: "ℕ is the set of natural numbers (positive integers)" (p. 3)

[Mac_Lane_&_Birkhoff_1999_p15-5] (Mac Lane & Birkhoff 1999) include zero in the natural numbers: 'Intuitively, the set $ℕ = {0, 1, 2, ...}$ of all natural numbers may be described as follows: $ℕ$ contains an "initial" number 0; ...'. They follow that with their version of the Peano Postulates. (p. 15)

[6] (Mendelson 2008) says: "The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers." (Preface, p. x)

[7] (Bluman 2010): "Numbers make up the foundation of mathematics." (p. 1)

[8] Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. பக். 25. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-07-054235-8. https://archive.org/details/1979RudinW.

[9] Weisstein, Eric W., "Cardinal Number", MathWorld.

[10] Grimaldi, Ralph P. (2003). A review of discrete and combinatorial mathematics (5th ). Boston, MA: Addison-Wesley. பக். 133. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0201726343.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

@@ வரிசை 23: / வரிசை 23: @@
 *இயலெண்களோடு [[முற்றொருமை உறுப்பு]] 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (''n'') [[கூட்டல் நேர்மாறு|கூட்டல் நேர்மாறு]]களையும் (−''n'') சேர்த்தால் [[முழு எண்]]களின் கணம் பெறப்படுகிறது; *இயலெண்களோடு [[முற்றொருமை உறுப்பு]] 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (''n'') [[கூட்டல் நேர்மாறு|கூட்டல் நேர்மாறு]]களையும் (−''n''), ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற இயல் எண்ணின் [[பெருக்கல் நேர்மாறு]]களையும் (1/''n'') சேர்க்க [[விகிதமுறு எண்]]கள் பெறப்படுகின்றன.
 *இவற்றுடன் [[விகிதமுறா எண்கள்]] சேரும்போது மெய்யெண்கள் கிடைக்கின்றன.
-*மெய்யெண்களோடு  [[கற்பனை அலகு|-1 இன் வர்க்கமூலம்]] சேர்க்கப்படுபோது [[சிக்கலெண்]]கள் பெறப்படுகின்றன.<ref>{{harvtxt|Mendelson|2008}} says: "The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers." (Preface, p. x)</ref><ref>{{harvtxt|Bluman|2010}}: "Numbers make up the foundation of mathematics." (p. 1)</ref> இச்சங்கிலித் தொடர் நீட்சிகளால் பிற எண்களுக்குள் உட்பொதிவாக இயலெண்கள் அமைகின்றன.
+*மெய்யெண்களோடு  [[கற்பனை அலகு|-1 இன் வர்க்கமூலம்]] சேர்க்கப்படுபோது [[சிக்கலெண்]]கள் பெறப்படுகின்றன.<ref>{{harvtxt|Mendelson|2008}} says: "The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers." (Preface, p. x)</ref><ref>{{harvtxt|Bluman|2010}}: "Numbers make up the foundation of mathematics." (p. 1)</ref>
+இச்சங்கிலித் தொடர் நீட்சிகளால் பிற எண்களுக்குள் உட்பொதிவாக இயலெண்கள் அமைகின்றன.
+== குறியீடு==
+[[File:U+2115.svg|right|thumb|upright|பெரும்பான்மையாக இயலெண்கள் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடு.]]
+இயலெண்களின் கணத்தை '''N''' அல்லது {{math|ℕ}} என்ற குயீடுகளால் கணிதவியலாளர்கள் குறிக்கின்றனர். பழைய புத்தகங்களில் அரிதாக ''J'' என்ற குறியீடும் இயலெண்கள் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது.<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=W.|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8|location=New York|pages=25|quote=|via=}}</ref>  இயலெண்களின் கணம் முடிவுறா கணமாகவும். அதே சமயத்தில் [[எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும்|எண்ணத்தக்க கணமாகவும்]] உள்ளது. இக்கணம் எண்ணத்தக்கது என்பதைக் குறிக்கும்வகையில் இதன் முதலெண் {{math|ℵ<sub>0</sub>}} என்ற குறிக்கப்படுகின்றன.<ref>{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}</ref>
+"0" சேர்க்கப்பட்ட அல்லது சேர்க்கப்படாத இயலெண்கள் கணமா என்பதைத் தெளிவுபடுத்தும்வகையாக பின்னதற்கு "{{math|*}}" அல்லது என்ற "{{math|+}}"மேலொட்டும், முன்னதற்கு "{{math|>0}}" என்பது மேலொட்டு அல்லது கீழொட்டாகச் சேர்க்கப்படுகிறது.<ref name = ISO80000 >{{cite book|title=ISO 80000-2:2009|url=http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=31887|publisher=[[சீர்தரத்துக்கான அனைத்துலக நிறுவனம்]]| chapter = Standard number sets and intervals | page = 6 }}</ref>
+:{{math|1=ℕ<sup>0</sup> = ℕ<sub>0</sub> = {{mset|0, 1, 2, …}}}}
+:{{math|1=ℕ<sup>*</sup> = ℕ<sup>+</sup> = ℕ<sub>1</sub> = ℕ<sub>>0</sub> = {{mset|1, 2, …}}}}.
+Alternatively, natural numbers may be distinguished from positive integers with the index notation, but it must be understood by context that since both symbols are used, the natural numbers contain zero.<ref>{{cite book|last1=Grimaldi|first1=Ralph P.|title=A review of discrete and combinatorial mathematics|date=2003|publisher=Addison-Wesley|location=Boston, MA|isbn=978-0201726343|page=133|edition=5th}}</ref>
+:{{math|1=ℕ = {{mset|0, 1, 2, …}} }}.
+:{{math|1=ℤ<sup>+</sup>= {{mset|1, 2, …}} }}.
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==