இரு மைய நாற்கரம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
ஒரு இரு மைய நாற்கரம் -ABCD
ஒரு செங்கோணப் பட்டம்
ஒரு இரு மைய நாற்கரம் -ABCD, அதன் தொடுபுள்ளி நாற்கரம் -WXYZ

யூக்ளிடின் வடிவவியலில் இரு மைய நாற்கரம் (bicentric quadrilateral) என்பது உள்வட்டம் மற்றும் சுற்றுவட்டம் இரண்டும் கொண்ட ஒரு குவிவு நாற்கரம். இதனால் இந்நாற்கரம் தொடு நாற்கரமாகவும் வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும். இந்நாற்கரம் நாண்-தொடுகோடு நாற்கரம், (chord-tangent quadrilateral)[1] உள்வரையப்பட்ட மற்றும் வெளிவரையப்பட்ட நாற்கரம் (inscribed and circumscribed quadrilateral) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

சிறப்பு வகைகள்[தொகு]

இரு மைய நாற்கரங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்:

பண்புகள்[தொகு]

அதாவது பக்க நீளங்கள் -a, b, c, d கொண்ட ஒரு குவிவு நாற்கரம் ABCD எனில்:

\displaystyle a+c=b+d (மற்றும்)
\displaystyle A+C=B+D=\pi.

ஆகிய இரண்டு முடிவுகளும் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே நாற்கரம் ABCD ஒரு இரு மைய நாற்கரமாக இருக்க முடியும்.

  • நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் AB, BC, CD, DA -க்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே W, X, Y, Z என்க. பின்வரும் மூன்று முடிவுகளும் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும்.[2]
WY\bot\, XZ (அதாவது தொடுபுள்ளி நாற்கரம் WXYZ ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்.)
\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC}
\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}
  • WX, XY , YZ, ZW -ன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே E, F, G, H என்க. நாற்கரம் EFGH ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.[2]
  • ஒரு தொடு நாற்கரத்தின் உள்வட்டமையம் I மற்றும் அந்நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் நீட்சிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் J ,K என்க. முக்கோணம் JIK ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த தொடு நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.[2]

தொடு நாற்கரம் ABCD -ன் நியூட்டன் கோடு அந்நாற்கரத்தின் தொடுபுள்ளி நாற்கரம் -WXYZ -ன் நியூட்டன் கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும். [2] (ஒரு நாற்கரத்தின் நியூட்டன் கோடு என்பது அந்நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களை இணைக்கும் கோடு.)

பரப்பு[தொகு]

  • a, b, c, d -பக்க நீளங்கள் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் பரப்பு K[3] [4] [5] [6] [7]:
\displaystyle K = \sqrt{abcd}.

இவ்வாய்ப்பாடு பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகும். இதனைத் தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் முக்கோணவியல் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து தருவிக்கலாம்.

  • ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் தொடு நாண்கள் k, l மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் p, q எனில், அதன் பரப்பு[4]:
 K=\frac{klpq}{k^2+l^2}.

பரப்பு காணும் பிற வாய்ப்பாடுகள்:

இங்கு m மற்றும் n இரு மைய நாற்கரத்தின் இருநடுக்கோடுகள்.

இதில் e, f, g, h -தொடுகோட்டு நீளங்கள்.

  • நாற்கரம் ABCD -ன் பரப்பு:
 K=AI\cdot CI+BI\cdot DI [5]

I -உள்வட்ட மையம்.

உள்வட்ட ஆரம் r மற்றும் A, B நாற்கரத்தின் இரு அடுத்துள்ள கோணங்கள்.

சமனின்மைகள்:

r மற்றும் R முறையே உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்கள்.

நாற்கரம் சதுரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமன் குறி (இருபுறமும்) பொருந்தும்.

கோணங்களின் வாய்ப்பாடுகள்[தொகு]

இரு மைய நாற்கரம் ABCD -ன் பக்கங்கள் AB, BC, CD, DA ஆகியவற்றின் நீளங்கள் முறையே a, b, c, d எனில் நாற்கரத்தின் உச்சிக் கோணங்கள்[5]:

\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\cot{\frac{C}{2}},
\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{cd}{ab}}=\cot{\frac{D}{2}}.

இரு மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் \theta காண வாய்ப்பாடு[6]:

\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.

உள்வட்ட ஆரமும் வெளிவட்ட ஆரமும்[தொகு]

ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் r காணும் வாய்ப்பாடுகள்:

இதில் a, b, c, d -நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள்.

இதில் e, f, g, h -நாற்கரத்தின் தொடுகோட்டு நீளங்கள்

இவ்விரண்டு வாய்ப்பாடுகளும் உள்வட்ட ஆரம் r -கொண்ட ஒரு தொடு நாற்கரமானது, வட்ட நாற்கரமாகவும் அமைவதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடுகளாகும்.

  • கீழே தரப்பட்டுள்ள வெளிவட்ட ஆரம் R காணும் வாய்ப்பாடு இந்திய கணிதவியலாளர் பரமேஷ்வரரின் வாய்ப்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்:[3]
\displaystyle R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}.
  • உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம் இரண்டிற்கும் இடையேயுள்ள சமனின்மை:
R\ge \sqrt{2}r

இச்சமனின்மை நாற்கரத்தின் பரப்பின் இரட்டைச் சமனின்மையில் இருந்து பெறப்பட்டுள்ளது.

உள்வட்டம், வெளிவட்டம் இரண்டும் பொதுமைய வட்டங்களாக இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக அமையும். அப்பொழுது நாற்கரம் ஒரு சதுரமாக இருக்கும்.

  • இரு மைய நாற்கரம் ABCD -ன் உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்களுக்கு இடையேயுள்ள மற்றொரு சமனின்மை:
 4r^2 \le IA\cdot IC+IB\cdot ID \le 2R^2 [11]

இங்கு I -உள்வட்ட மையம்.

  • ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் p மற்றும் q எனில்:
\displaystyle \frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1[7]

ஃபஸ்ஸின் தேற்றமும் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமையும்[தொகு]

ஃபஸ்ஸின் தேற்றம், ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம் மற்றும் உள்வட்ட, வெளிவட்ட மையங்கள் I , O இரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம் x ஆகிய மூன்றுக்கும் இடைப்பட்ட தொடர்பைத் தருகிறது[1] [7] [12]:

 \frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},

அல்லது

\displaystyle 2r^2(R^2+x^2)=(R^2-x^2)^2 .

1792 -ல் நிக்கோலஸ் ஃபஸ், இதனைக் கண்டறிந்தார்.

இதிலிருந்து x -ன் மதிப்பு:

 x=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}.

ஃபஸ் தேற்றத்தின் கூற்றின்படி:

ஒரு நாற்கரம் இரு மைய நாற்கரமாக இருந்தால் அதன் உள்வட்டமும் வெளிவட்டமும் மேலேயுள்ளவாறு தொடர்பு கொண்டிருக்கும்.

இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்:

ஒன்றுக்குள் மற்றொன்றாக அமையும் இரு வட்டங்களின் ஆரங்கள் R , r , அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் x -இவை மூன்றும் ஃபஸ்ஸின் தேற்றத்தில் உள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்தால் வெளியேயுள்ள வட்டத்துக்குள்ளாகவும், உள்ளேயுள்ள வட்டத்தைத் தொட்டுக்கொண்டும் ஒரு நாற்கரம் அமையும்.[13]

கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை:

உள்வட்ட மையம், வெளிவட்ட மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் x, உள்வட்ட ஆரம் r , வெளிவட்ட ஆரம் R -மூன்றுக்கும் இடையேயான மற்றொரு தொடர்பு அமெரிக்க கணிதவியலாளர் லென்னார்ட் கார்லிட்ஸால் (1907–1999) தரப்பட்டுள்ளது[14]:

\displaystyle x^2=R^2-2Rr\cdot \mu

இங்கு

\displaystyle \mu=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^2(ac+bd)}} = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^2(ac+bd)}}

a, b, c, d -இரு மைய நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள்.

கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, வடிவவியலில் முக்கோணத்திற்கான ஆய்லர் தேற்றத்தை இரு மைய நாற்கரத்திற்குப் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

பிற பண்புகள்[தொகு]

இரு மைய நாற்கரங்களுக்கான பான்ஸிலெட்டின் தேற்றம்
  • ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் வெளிவட்ட மையம், உள்வட்ட மையம் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி மூன்றும் ஒரே நேர் கோட்டின் மீது அமையும் புள்ளிகளாகும்.[15]
  • ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் p, q எனில்:
\displaystyle 8pq\le (a+b+c+d)^2

இதில் a, b, c, d நாற்கரத்தின் பக்கங்கள். இது முர்ரே கிளாம்கின்னால் 1967 -ல் நிறுவப்பட்டது.[8]

  • ஒன்றுக்குள் மற்றொன்றாக அமையும் இரு வட்டங்கள், ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் வெளிவட்டம் மற்றும் உள்வட்டங்களாக அமைந்தால், வெளிவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் இவ்விரு வட்டங்களையே வெளி மற்றும் உள் வட்டங்களாகக் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் உச்சியாக இருக்கும்.[16] பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜான்-விக்டர் பான்ஸ்லெட் (1788–1867) இதனை நிரூபித்துள்ளார்.

இதில் இரு மைய நாற்கரத்தின்

அரைச்சுற்றளவு -s
பரப்பு -K
r, R -உள்வட்ட ஆரம் மற்றும் வெளிவட்ட ஆரம்.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. 1.0 1.1 Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions, New York: Dover, 1965, pp. 188–193.
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 Josefsson, Martin (2010), "Characterizations of Bicentric Quadrilaterals", Forum Geometricorum 10: 165–173, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf .
  3. 3.0 3.1 3.2 Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral at MathWorld, [1], Accessed on 2011-08-13.
  4. 4.0 4.1 4.2 Josefsson, Martin (2010), "Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral", Forum Geometricorum 10: 119–130, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf .
  5. 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 Josefsson, Martin (2011), "The Area of a Bicentric Quadrilateral", Forum Geometricorum 11: 155–164, http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf .
  6. 6.0 6.1 Durell, C. V. and Robson, A., Advanced Trigonometry, Dover, 2003, pp. 28, 30.
  7. 7.0 7.1 7.2 Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [2], 1998, pp. 158-164.
  8. 8.0 8.1 Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, When less is more: visualizing basic inequalities, Mathematical Association of America, 2009, pp. 64-66.
  9. 9.0 9.1 Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, 2007, Problem 1203, p. 39, [3]
  10. M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) 33–52.
  11. Post at Art of Problem Solving, 2009, [4]
  12. Salazar, Juan Carlos (2006), "Fuss's Theorem", Mathematical Gazette 90 (July): 306–307 .
  13. Byerly, W. E. (1909), "The In- and-Circumscribed Quadrilateral", The Annals of Mathematics 10: 123–128 .
  14. Calin, Ovidiu, Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach, [5], pp. 153–158.
  15. Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [6], 2004.
  16. Weisstein, Eric W. "Poncelet Transverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, [7]
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=இரு_மைய_நாற்கரம்&oldid=1410148" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது