பட்டம் (வடிவவியல்)

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் பட்டம் (kite) என்பது ஒருவகை நாற்கரம். இதன் நான்கு பக்கங்களில் அடுத்துள்ள இரண்டிரண்டு பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும். இணைகரத்திலும் ஒரு சோடி பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும். ஆனால் அவை அடுத்துள்ள பக்க சோடி அல்ல, அவை எதிரெதிர் பக்கங்கள் கொண்ட சோடிகளாகும். இந்த வடிவில் அமைவதால்தான் காற்றில் பறக்கும் பட்டங்கள், இப்பெயரைப் பெற்றுள்ளன. மேலும் இதிலிருந்துதான் வேகமாக பறக்கக்கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட வகைப் பறவையும் கைட் என ஆங்கிலத்தில் அழைக்கப்படுகிறது. இக்கட்டுரையில் இனிவரும் பகுதிகளில் இச்சிறப்பு வகை நாற்கரங்கள், அவற்றின் வடிவமைப்பின் காரணத்தால் பட்டவடிவ நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும். பட்டவடிவ நாற்கரங்கள், குவிவு அல்லது குழிவாக அமையலாம். ஆனால் பட்டவடிவ நாற்கரம் என்பது பெரும்பாலும் குவிவு பட்டவடிவ நாற்கரங்களையே குறிக்கும்.

சிறப்பு வகைகள்

ஒரு பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால் அது ஒரு சாய்சதுரமாகும்.

நான்கு கோணங்களும் சமமாக இருந்தால் அதன் பக்கங்களும் சமமாகவே இருக்கும் எனவே அது ஒரு சதுரமாகும்.

அனைத்து நாற்கரங்களிலும் சுற்றளவுக்கும் விட்டத்துக்கும் இடையேயான விகிதம் மிகப்பெரிய அளவாக இருப்பது π/3, 5π/12, 5π/6, 5π/12 கோணங்கள் கொண்ட பட்டவடிவ நாற்கரத்தில்தான்.^[1]

வட்ட நாற்கரமாக அமையும் ஒரு பட்டவடிவ நாற்கரம், (ஒரு வட்டத்துக்குள் வரையக் கூடியது). இரு சர்வசம செங்கோண முக்கோணங்கள் சேர்ந்து உருவானதாக இருக்கும். இவ்வகையான பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் சமச்சீர் அச்சின் எதிர்ப்புறங்களில் அமையும் இரு சமகோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் 90° ஆக இருக்கும். ^[2] இவை செங்கோண பட்டவடிவ நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும்.^[3]

பண்புகள்

பின்வரும் கூற்றுகளில் ஏதேனும் ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ஒரு நாற்கரம் பட்டவடிவ நாற்கரமாக அமையும்: இரு மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று:

மற்றொரு மூலைவிட்டத்தின் நடுக்குத்துக்கோடாக இருக்கும்.^[4]
நாற்கரத்தை இரு சர்வசம பாகங்களாகப் பிரிக்கும்

சமச்சீர்

பட்டவடிவ நாற்கரத்தில் ஒரு சோடி எதிர்க் கோணங்கள் சர்வசமமாக இருக்கும். ஒரு மூலைவிட்டம் ஒரு சோடி எதிர்க்கோணங்களை இருசமக்கூறிடும்.^[4]

பட்டவடிவ நாற்கரங்கள் ஒரு மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்சி சமச்சீர் கொண்டவை.^[5]

தனக்குத்தானே வெட்டிக்கொள்ளாத எந்தவொரு நாற்கரமும்:

மூலைவிட்டத்தைச் சமச்சீர் அச்சாக கொண்டிருந்தால் ஒரு பட்டவடிவ நாற்கரமாகவும்,
சமச்சீர் அச்சு இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் வழியாகச் சென்றால் ஒரு இருசமபக்க சரிவகமாகவும் அமையும்.
இரு சமச்சீர் அச்சுகள் கொண்ட சாய்சதுரமும் செவ்வகமும் பட்டவடிவ நாற்கரங்கள்.
நான்கு சமச்சீர் அச்சுகள் கொண்ட சதுரம் பட்டவடிவ நாற்கரமாகவும் இருசமபக்க சரிவகமாகவும் அமையும்.^[5]

தன்னைத்தானே வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரங்களையும் சேர்த்துக் கொண்டால் சமச்சீர் அச்சுகளுடைய நாற்கரங்களின் பட்டியலில் எதிர் இணைகரகமும் இடம்பெறும். பட்டவடிவ நாற்கரங்களும் இருசமபக்க சரிவகங்களும் ஒன்றுக்கொன்று இருமமாக (dual) அமையும். பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் போலார் வடிவம் (polar figure) இருசமபக்க சரிவகம், இருசமபக்க சரிவகத்தின் போலார் வடிவம் பட்டவடிவ நாற்கரம்.^[6]

பரப்பு

பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையும். மேலும் ஒரு மூலைவிட்டம் (சமச்சீர் அச்சு) மற்றதன் நடுக்குத்துக் கோடாகவும், அது சந்திக்கும் இரு கோணங்களின் கோண இருசமவெட்டியாகவும் அமையும். ^[5]

மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் p, q எனில் பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் பரப்பு:

K={\frac {p\cdot q}{2}}.

மாறாக இரு சமமில்லா பக்கங்கள் a மற்றும் b , அவற்றுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் θ எனில் பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் பரப்பு:

\displaystyle K=ab\cdot \sin {\theta }.

பட்டவடிவ நாற்கரத்தை, சமச்சீர் அச்சாக அமையும் மூலைவிட்டம் இரண்டு சர்வசம முக்கோணங்களாகவும் மற்றொரு மூலைவிட்டம் இரண்டு இருசமபக்க முக்கோணங்களாகவும் பிரிக்கின்றன.^[5] சமச்சீர் அச்சின் எதிர்ப்பக்கங்களில் அமையும் உட்கோணங்கள் இரண்டும் சமமாக இருக்கும்.

கூடுதல் பண்புகள்

ஒவ்வொரு குவிவுப் பட்டவடிவ நாற்கரத்துக்கும் அதன் உட்புறம் அதன் பக்கங்களைத் தொட்டவாறு வட்டம் ஒன்று வரைய முடியும். எனவே ஒவ்வொரு குவிவுப் பட்டவடிவ நாற்கரமும் ஒரு தொடு நாற்கரமாக அமையும் கூடுதலாக சாய்சதுரமல்லாத ஒரு குவிவுப் பட்ட நாற்கரதிற்கு வெளியே அதன் பக்கங்களின் நீட்சிக்கோடுகளைத் தொடும் வட்டம் ஒன்று வரையலாம். அதாவது சாய்சதுரமல்லாத ஒவ்வொரு குவிவுப் பட்டவடிவ நாற்கரமும் ஒரு வெளி-தொடு நாற்கரமாக அமையும்.

ஒவ்வொரு குழிவுப் பட்டவடிவ நாற்கரத்திற்கும் அதன் பக்கங்களைத் (அல்லது பக்க நீட்டிப்புகள்) தொடும் வட்டங்கள் இரண்டு உள்ளன. ஒரு வட்டம், நாற்கரத்துக்குள் குழிவு கோணத்திற்கு எதிராக அமையும் இரு பக்கங்களைத் தொட்டுக் கொண்டு அமையும். மற்றொன்று வட்டத்திற்கு வெளியே குழிவு கோணத்தைத் தாங்கும் பக்கங்களைத் தொட்டுக்கொண்டு அமையும்.^[7]

பின்வரும் கட்டுப்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு தொடு நாற்கரம் பட்டவடிவ நாற்கரமாக அமையும்:^[8]

மூலைவிட்டங்களின் பெருக்குத்தொகையில் பாதி நாற்கரத்தின் பரப்பாகும்.
மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து.
எதிரெதிர் தொடுபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் சமநீளமாக இருக்கும்.
ஒரு சோடி எதிரெதிர் தொடுகோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.
இருநடுக்கோடுகளின் (bimedians) நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.
எதிரெதிராக அமையும் சோடிப்பக்க நீளங்களின் பெருக்குத்தொகை சமமாக இருக்கும்.
உள்வட்ட மையம் இரு மூலைவிட்டங்களில் அதிக நீளமுள்ளதன் மீது அமையும்.

எனவே செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரமாகவும் தொடுநாற்கரமாகவும் ஒரு பட்டவடிவ நாற்கரம் அமையும்.

மேற்கோள்கள்

↑ Ball, D.G. (1973), "A generalisation of π", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 57 (402): 298–303, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3616052, JSTOR 3616052; Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Pi-optimal polygons", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 59 (409): 165–175, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3617699, JSTOR 3617699.
↑ Gant, P. (1944), "A note on quadrilaterals", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 28 (278): 29–30, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3607362, JSTOR 3607362.
↑ De Villiers, Michael (1994), "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals", For the learning of mathematics, 14 (1): 11–18, JSTOR 40248098.
↑ ^4.0 ^4.1 Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 51-52.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Halsted, George Bruce (1896), "Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals", Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, pp. 49–53.
↑ Robertson, S.A. (1977), "Classifying triangles and quadrilaterals", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 61 (415): 38–49, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3617441, JSTOR 3617441.
↑ Wheeler, Roger F. (1958), "Quadrilaterals", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 42 (342): 275–276, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3610439, JSTOR 3610439.
↑ Josefsson, Martin (2011), "When is a Tangential Quadrilateral a Kite?" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 165–174.

வெளி இணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Kite", MathWorld.
Kite definition and area formulae with interactive animations at Mathopenref.com

[1] Ball, D.G. (1973), "A generalisation of π", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 57 (402): 298–303, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3616052, JSTOR 3616052; Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Pi-optimal polygons", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 59 (409): 165–175, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3617699, JSTOR 3617699.

[2] Gant, P. (1944), "A note on quadrilaterals", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 28 (278): 29–30, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3607362, JSTOR 3607362.

[3] De Villiers, Michael (1994), "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals", For the learning of mathematics, 14 (1): 11–18, JSTOR 40248098.

[Usiskin-4] 4.0 ^4.1 Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 51-52.

[esg-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Halsted, George Bruce (1896), "Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals", Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, pp. 49–53.

[6] Robertson, S.A. (1977), "Classifying triangles and quadrilaterals", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 61 (415): 38–49, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3617441, JSTOR 3617441.

[7] Wheeler, Roger F. (1958), "Quadrilaterals", Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 42 (342): 275–276, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/3610439, JSTOR 3610439.

[8] Josefsson, Martin (2011), "When is a Tangential Quadrilateral a Kite?" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 165–174.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]