வகையீடு

பல அன்றாட பிரச்சினைகள் கணிதத்தில் ஆழமாகவும் அகலமாகவும் அலசப்படுகின்றன. அப்படியொரு பிரச்சினைதான் 'மாறுதல்' என்ற பிரச்சினை. உலகில் எதுவுமே மாறிக்கொண்டிருக்கிறது. சாலையில் போகும் காரின் வேகத்தை வேகமானியைப் பார்த்துத் தெரிந்துகொள்கிறோம். வேகம் என்பது ஒரு மணிக்கு எவ்வளவு தூரம் கார் போகிறது என்பதைச் சொல்கிறது. ஆனால் ஒரு மணி நேரம் பிரயாணம் செய்துதான் அதைத் தெரிந்துகொள்ள வேண்டுமென்பதில்லை. ஒவ்வொரு நிமிடமும், ஏன், ஒவ்வொரு நொடியும் அந்த வேகம் மாறிக்கொண்டேயிருக்கிறது. அப்படியும் நொடிக்கு நொடி அதை அளந்து சொல்லிவிடமுடியும். சென்ற நொடியில் கார் போன துரத்தை வைத்து அந்த நொடியில் அதன் வேகம் இவ்வளவு என்று கணக்கிடுவதற்குத் தான் வேகமானி இருக்கிறது. அதற்கு அடிப்படைக்கணிதம் தான் வகையீடு.

கணிதத்தில் இதற்கு வழி இருக்கிறது என்று தனித்தனியே முதன்முதல் சொன்னவர்கள் இருவர். ஐசக் நியூட்டன் (இங்கிலாந்து), மற்றும் லெப்னீட்ஸ் (ஜெர்மனி) -- இருவரும் 17ம் நூற்றாண்டின் பின்பாதியில், வகையீடு அல்லது வகையீட்டுக்கெழு (Derivative, Differential Coefficient) என்பதைக் கண்டுபிடித்தனர். இதனில் தொடங்கியதுதான் நுண்கணிதம் என்ற கணிதத்தின் இன்றியமையா அடிப்படைப் பிரிவு.

ஒர் செயலியின் ($y=f(x))$ சாரா மாறி மாறும்பொழுது அதனுடன் தொடர்புடைய சார் மாறி மாறும். சாரா மாறி சிறிதாக மாறும் பொழுது அம்மாறுதலின் அளவு $\vartriangle x$ என்று குறிக்கப்படும்.

$x$ என்ற சாராமாறி $x + \vartriangle x$ ஆக ஆகும்போது,

$y$ என்ற சார்மாறி, $\vartriangle y$ என்ற மாறுதலுக்குள்ளாகி, $y + \vartriangle y$ ஆகும்.

சார்மாறியின் மாறுதல் $\vartriangle y$.

சாராமாறியின் மாறுதல் $\vartriangle x.$

மாறுதல்களின் விகிதம் $\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}$.

இந்த விகிதம் என்பது நம் காரின் வேகத்தை அளக்கும்போது, சென்ற ஒரு நொடியில் கார் போன தூரத்தை $\vartriangle y$ ஆகவும், சென்ற ஒரு நொடிக்கான நேரத்தை $\vartriangle x$ ஆகவும் எடுத்துக்கொண்டு கணித்த விகிதம் ஆகும். ஆனால் நுண்கணிதத்தில் இதை இன்னும் நுண்பியப்படுத்தி, நொடியையும் விட மிகவும் நுண்ணியதான அந்த ஒரு கணநேரத்தில் காரினுடைய வேகம் என்ன என்று சொல்வதற்கு ஒரு வழி வகுத்தனர்.

அதுதான் 'எல்லை' என்ற கணிதக் கருத்து.

அதாவது, $\vartriangle x$ ஐ சிறிது சிறிதாக ஆக்கி கடைசியில் சூனியமாகவே ஆக்க முயற்சி செய். $\vartriangle y$ ம் சிறிது சிறிதாக ஆகி, அதுவும் சூனியமாகவே ஆகிவிடும் .

ஆனால் அப்படி இரண்டும் சூனியமானால், நாம் சூனியத்தை சூனியத்தால் வகுக்கவேண்டிவரும். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படாத செயல்.

ஆனால் வேறு வழிகளில் $\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}$ க்கு $\vartriangle x.$ சூனியத்தை நோக்கி மாறும்போதும் ஒரு மதிப்பு கண்டுபிடிக்க முடியுமானால் அதுதான் அந்தக் கணத்தில் கார் செல்லும் வேகமாகும். இந்த மதிப்பை

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

என்று குறிப்பிட்டு, சுருக்கமாக $\frac{dy}{dx}$ என்று எழுதப்படுகிறது. இதுதான் வகையீடு.

இப்பொழுது நுண்கணிதத்தின் முதல் பிரச்சினை இந்த 'எல்லையை' எப்படி கண்டுபிடிப்பது என்பதுதான்.

சார்பு அல்லது நிகழ்வு

முதன்மைக் கட்டுரை: சார்பு

எ.கா. மந்திரகாரர்களை ஒரு பெட்டியின் ஒரு புறத்தில் எலியை அனுப்பி மறுபுறம் முயலை எடுப்பது ஒரு சார்பு. இங்கே பெட்டி எலியை முயலாக மாற்றி வெளியே அனுப்புகிறது. அதுதான் சார்பு. திருமணம் என்பது ஒரு நிகழ்வு. திருமணத்திற்க்கு முன்பு மணமகன், மணமகள் இருவரும் தனித்தனியாக உள்ளனர். திருமணத்திற்க்கு பின்பு அவர்கள் கணவன்,மனைவியாக மாறுகின்றனர். இது ஒரு சார்பு.

$y = f(x)$

இங்கே,

எலி = $x$

முயல் = $y$

பெட்டி = $f$

எ.கா: $y = 5x$

$a = K x^2$

$h = gx^{\frac{1}{3}}$

மேலும் பார்க்க

• வகையீட்டுச் சமன்பாடு

-