வகையிடலின் வகுத்தல் விதி

நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் வகுத்தல் விதி அல்லது சுருக்கமாக வகுத்தல் விதி (quotient rule) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் விகிதமுறு சார்பாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காணும் முறையை இவ்விதி தருகிறது.

இவ்விதியின் கூற்று:

• லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0$ எனில் அதன் வகைக்கெழு,

$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.$

இவ்விதியை இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கும் நீட்டிக்கலாம்:

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0$ என்பதை

$f(x)=g(x)(h(x))^{-1}$

என எடுத்துக் கொண்டு வகையிடலின் பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி இருமுறை வகையிட:

$f''(x)=\frac{g''(x)[h(x)]^2-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]^2-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^3}.$

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

$y = \frac{u}{v}\,$,

$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{du}}{v^2}\,$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $(4x - 2)/(x^2 + 1)$ இன் வகைக்கெழு:

$\begin{align}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}\right] &= \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\\ & = \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end{align}$

• $\frac{sinx}{x^2}; x \not = 0$ இன் வகைக்கெழு:

$\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}$

• $f(x) = \frac{2x^2}{x^3}$ இன் வகைக்கெழு:

$g(x) = 2x^2;$ $h(x) = x^3$

$g'(x) = 4x;$ $h'(x) = 3x^2$.

வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்த:

$f'(x) = \frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2} = \frac{4x^4 - 6x^4}{x^6} = \frac{-2x^4}{x^6} = -\frac{2}{x^2}$

இச் சார்பை அடுக்குக்குறி விதிகளையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறும் வகையிடலாம்:

$f(x) = \frac{2x^2}{x^3} = \frac{2}{x} = 2x^{-1}$

$f'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$

குறைபாடு

ஒரு விகிதமுறு சார்பின் தொகுதியிலுள்ள சார்பும் பகுதியிலுள்ள சார்பும் தனித்தனியே வகையிட முடியாதவையாக இருந்தால் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி அச்சார்பை வகையிட முடியாது. ஆனால் அந்த விகிதமுறு சார்பு முழுமையாகத் தனியே வகையிடக் கூடியதாக இருக்குலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1},$

|x| என்பது x இன் தனிமதிப்பு.

இச்சார்பை $f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1} = 1$ என எடுத்துக்கொண்டால் இதனை வகையிடுதல் சாத்தியமாகும்.

இதன் வகைக்கெழு,

$f'(x) = 0$

ஆனால் இதே சார்பை, $x = 0$ இல் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட முயன்றால், வரையறுக்கப்படாத மதிப்பே விடையாகக் கிடைக்கும். ஏனெனில் |x| இன் மதிப்பு x = 0 இல் வரையறுக்கப்படவில்லை.

நிறுவல்கள்

அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)};\qquad h(x) \neq 0$

$g,$ $h$ இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)- f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left(\frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

தொகுதியில் $g(x)h(x)$ ஐக் கூட்டிக் கழிக்க,

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}$

$= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)\lim_{\Delta x \to 0}h( x+\Delta x)}$

வகைக்கெழுக்களின் வரையறைப்படி,

$= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

$\frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]$

இந்த முற்றொருமையை $x$ ஐப் பொறுத்து வகையிட:

$\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]$

வலப்புற வகையிடலுக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

$\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \right) \right]$

வலப்புறம், பெருக்கிச் சுருக்க:

$\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right]$

$\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}$

பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

$y = \frac{u}{v}$ எனில்,

$y = \frac{u}{v} = uv^{-1}.$

பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி வகையிட,

$\frac{dy}{dx} = u'v^{-1} - v^{-2}uv' = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^{2}}$

தொகுதி, பகுதி இரண்டையும் $v$ ஆல் பெருக்க வகையிடலின் வகுத்தல் விதி கிடைக்கிறது.

$\frac{dy}{dx} = \frac{vu'}{v^2} - \frac{uv'}{v^{2}} = \frac{vu' - uv'}{v^{2}}$

மேற்கோள்கள்

• கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 82. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm