வகையிடலின் பெருக்கல் விதி

நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் பெருக்கல் விதி அல்லது பெருக்கல் விதி (product rule) என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும்.

இவ்விதியின் கூற்று:

f , g வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்:

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\!$

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் இவ்விதி:

$\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}$.

வகையீடுகளின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$d(uv)=u\,dv+v\,du$.

இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழு:

$\dfrac{d}{dx}(u\cdot v \cdot w)=\dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac{dw}{dx}$.

லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பு

இந்தப் பெருக்கல் விதி லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார்.

u(x) , v(x) இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் uv இன் வகையீடு:

$\begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align}$

du·dv மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது,

$d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,\!$

இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும்.

dx ஆல் வகுக்க,

$\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx} \,\!$

இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:

$(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,\!$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• வகையிட வேண்டிய சார்பு

$f(x) = x^2 sinx$ எனில் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த,

$(f(x))' = sinx (x^2)' + x^2 (sinx)' \,\!$

$= sinx (2x) + x^2 (cosx) \,\!$

$= 2xsinx + x^2cosx \,\!$

• பெருக்கல் விதியின் ஒரு சிறப்பு வகையாக வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியை அடையலாம்.

பெருக்குத்தொகையில் உள்ள இரு சார்புகளில் ஒன்று மாறிலியாக இருந்தால் பெருக்கல் விதியானது மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாக மாறிவிடும்.

பெருக்கல் விதிப்படி,

$(cf(x))' = c(f(x))' + f(x)(c)' \,\!$

மாறிலி c இன் வகைக்கெழு பூச்சியம் என்பதால்,

$(cf(x))' = cf'(x) \,\!$ இது வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாகும்.

பொதுவான பிழை

பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (uv) இன் வகைக்கெழுவை (u ′)(v ′) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு ஆனால் இவ்வாறு உண்மையில் அமையாது என்பதற்கு எளிதாக மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தரமுடியும்.

நிறுவல்

பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்.

$h(x) = f(x)g(x),\,$

ƒ , g -என்பவை x இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,

$h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x} \qquad\qquad(1)$

இதிலுள்ள $f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)$ என்பது பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும்.

இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:

$f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)$

$\qquad(2)$ = $\qquad(3)$ என்பதால்,

$f(w)g(w) - f(x)g(x) = f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg)\qquad\qquad(4)$

இதை (1) இல் பயன்படுத்த,

$\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right)\qquad(4)$

இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால்,

$\left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \qquad(5)$

இப்பொழுது

• $\lim_{w\to x}f(x) = f(x),$ ( w → x எனும்போது f(x) மாறுவதில்லை)

• $\lim_{w\to x} g(w) = g(x),\,$ (வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் இது உண்மை)

• $\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)$    and    $\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)$ (f , g இரண்டும் x இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்)

இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த,

$h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,$ எனவே வகையிடலின் பெருக்கல் விதி நிறுவப்பட்டது.

வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.

பொதுமைப்படுத்துதல்

இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு

பெருக்கல் விதியை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்:

• மூன்று சார்புகளுக்கு:

$\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}\,\!$.

• $f_1, \dots, f_k$ ஆகிய k-சார்புகளுக்கு:

$\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ] = \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx} f_i(x) \prod_{j\ne i} f_j(x) \right) = \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right).$

உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் n ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

$(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).$

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, பொது லைப்னிட்ஸ் விதி அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

உயர்வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி:

${\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv) = \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}$

மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்:

$\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\ &{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\ \\ &{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3} + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2} + {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1} + {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}$

மேற்கோள்கள்

• Child, J. M. (2008) "The early mathematical manuscripts of Leibniz", Gottfried Wilhelm Leibniz, translated by J. M. Child; page 29, footnote 58.

• கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 79. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm