லைப்னிட்சின் குறியீடு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

நுண்கணிதத்தில் லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் (Leibniz's notation) x , y மாறிகளில் ஏற்படும் நுண்ணிய சிறிதளவான கூடுதலைக் குறிப்பதற்கு முறையே dx , dy என்ற குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 17 ஆம் நூற்றாண்டின் ஜெர்மனியின் மெய்யியலாளரும் கணிதவியலாளருமான லைப்னிட்சைச் சிறப்பிக்கும் விதமாக இக்குறியீட்டிற்கு அவரது பெயரிடப்பட்டுள்ளது.[1]

லைப்னிட்சின் குறியீட்டின்படி,

y=f(x) \,, என்ற சார்பில், x -ஐப் பொறுத்த y இன் வகைக்கெழு:
\frac{dy}{dx} ஆகும்.

ஆனால் பிற்காலத்தில் வகைக்கெழு, எல்லை மதிப்பாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{(x + \Delta x)-x},

வகையிடலில் லைப்னிட்சின் குறியீடு[தொகு]

முதல் வகைக்கெழு[தொகு]

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் f(x) என்ற சார்பின் முதல் வகைக்கெழு:

\frac{d\bigl(f(x)\bigr)}{dx}\,
y=f(x) \,, எனில் வகைக்கெழு:
\frac{dy}{dx}\,

பிற குறியீடுகள்[தொகு]

லைப்னிட்சைத் தவிர மேலும் பல கணிதவியலாளர்களும் வகையிடலுக்கானக் குறியீடுகளை உருவாக்கியுள்ளனர்.

அவற்றுள் குறிப்பிடத்தக்கவை:

\frac{d\bigl(f(x)\bigr)}{dx} = f'(x)\,
\frac{dx}{dt} = \dot{x}\,

உயர் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்[தொகு]

  • y = f(x) இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு


 \frac{d \left( \frac{d y} {dx}\right)} {dx} = \frac{d^2}{\left(dx\right)^2} \bigl(f(x)\bigr)=\frac{d^2}{dx^2} \bigl(f(x)\bigr)
(அல்லது)
\frac{d^2y}{dx^2}\, எனவும் எழுதலாம்.


  • y = f(x) இன் மூன்றாம் வகைக்கெழு
\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f(x)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^3 \bigl(f(x)\bigr) =
\frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \bigl(f(x)\bigr) \,

இதனை,

\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \bigl(f(x)\bigr) =
\frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \bigl(f(x)\bigr)\, எனவும்,
(அல்லது)
\frac{d^3y}{dx^3}\, எனவும் எழுதலாம்.
  • y = f(x) இன் n ஆவது வரிசை வகைக்கெழு
\frac{d^n\bigl(f(x)\bigr)}{dx^n}\text{ or }\frac{d^ny}{dx^n}

ஒரு புள்ளியில் வகைக்கெழு[தொகு]

x = a புள்ளியில், x ஐப் பொறுத்த y இன் வகைக்கெழுவை லைபினிட்சின் குறியீட்டில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவாறு இருவிதமாக எழுதலாம்:

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}
(அல்லது)
\frac{dy}{dx}(a).

பயன்பாடு[தொகு]

இக்குறியீட்டில் எந்த மாறியைப் பொறுத்து வகையிடப்படுகிறதோ அம்மாறி பகுதியில் குறிப்பிடப்படுகிறது. எனவே பகுதி வகையிடலில் இது பெரிதும் உதவியாய் இருக்கிறது. இம்முறையில் சங்கிலி விதியை எழுதுவது அவ்விதியினை எளிதாக நினைவில் கொள்ள வசதியாக உள்ளது:[2]

சங்கிலி விதியையும், பிரதியிடல் முறையில் தொகையிடலையும் இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி எளிதாக எழுதலாம்.

சங்கிலி விதி:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du_1} \cdot \frac{du_1}{du_2} \cdot \frac{du_2}{du_3}\cdots \frac{du_n}{dx}\,,

தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறை:

\int y \, dx = \int y \frac{dx}{du} \, du.

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to du by itself, but only as part of the symbol du/dx. Others define dx as an independent variable, and define du by du = dxf′(x). In non-standard analysis du is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the exterior derivative of a function u. See differential (infinitesimal) for further information.
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=லைப்னிட்சின்_குறியீடு&oldid=1370380" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது