வகையிடலின் அடுக்கு விதி

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் அடுக்கு விதி அல்லது சுருக்கமாக அடுக்கு விதி (power rule) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. வகையிடலின் நேரியல் தன்மையால் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வகையிட இவ்விதி பயன்படுகிறது.

இவ்விதியின் கூற்று:

 \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} , \qquad n \neq 0.

இவ்விதி, பூச்சியத்தைத் தவிர பிற அனைத்து அடுக்குகளுக்கும் பொருந்தும். அடுக்குப் பூச்சியமாக இருந்தால் மாறிலி விதிப்படி வகையிடலாம். மாறிலி விதிப்படி x^0 இன் மதிப்பு பூச்சியமாகும்.

ஆனால் அடுக்கு விதிப்படி வகையிட்டால்:

\frac{d}{dx}(x^0) = 0 \cdot x^{-1}, இதன் மதிப்பு x=0 எனும்போது வரையறுக்கப்படாததாக உள்ளது.

x^{-1} ஐத் தவிர மற்ற அனைத்து x இன் அடுக்குகளையும் அடுக்கு விதியின் நேர்மாறு விதியைப் பயன்படுத்தித் தொகையிடலாம்.

\int\! x^n \,dx= \frac{ x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1.

இந்த வரையறுக்கப்படாத தொகையீட்டில், C என்பது தொகையீட்டின் மாறிலி.

மேலே தரப்பட்டுள்ள தொகையீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தி x^{-1} ஐத் தொகையிட முடியாது. இதற்குத் தனி வாய்ப்பாடு உள்ளது.

\int \! x^{-1}\, dx= \ln |x|+C,

எனவே,

x^{100} இன் வகைக்கெழு 100 x^{99};
x^{100} இன் தொகையீடு  \frac{1}{101} x^{101} +C.

விதியும் நிறுவலும்[தொகு]

பழங்காலத்தில் x^n (n \geq 0) இன் கீழ் அமையும் பரப்பினைத் தரும் கவாலியரின் குவாடரேச்சர் வாய்ப்பாட்டின் நேர்மாறு விதியாக வகையிடலின் அடுக்கு விதி கருதப்பட்டது. தற்காலத்தில் வகையிடலின் அடுக்கு விதி முதலில் பெறப்பட்டு அதன் நேர்மாறு விதியாக தொகையிடல் விதி கருதப்படுகிறது.

n \geq 1 எனில்,

f(x)=x^n \! இன் வகைக்கெழு,
f'(x)=nx^{n-1},\!
\left(x^n\right)'=nx^{n-1}.

நிறுவல்[தொகு]

f(x) =  x^n
f(x)-f(a) =  x^n-a^n = (x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+ \cdots +a^{n-2}x+a^{n-1})
f'(a) = \lim_{x\rarr a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
 = \lim_{x\rarr a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = \lim_{x\rarr a} x^{n-1}+ax^{n-2}+ \cdots +a^{n-2}x+a^{n-1}

வகுத்தல் செயல் நீக்கப்பட்டதாலும் இது தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதாலும் இந்த எல்லையின் மதிப்பு:

f'(a) = \lim_{x\rarr a} x^{n-1}+ax^{n-2}+ \cdots +a^{n-2}x+a^{n-1} = a^{n-1}+a^{n-1}+ \cdots +a^{n-1}+a^{n-1} = n\cdot a^{n-1}

வகையிடலின் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி எதிர்ம அடுக்குகளுக்கும், அடுக்குக்குறி விதிகளையும் வகையிடலின் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி விகிதமுறு அடுக்குகளுக்கும் இவ்வாய்ப்பாட்டை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம். அடுக்கு விகிதமுறா எண்ணாக இருந்தால், அதனை விகிதமுறு எண்ணாகத் தோராயப்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வகையிடல்[தொகு]

வகையிடலின் நேரியல்புத் தன்மையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவையை வகையிடலாம்:

\left( \sum_{r=0}^n a_r x^r \right)' =
\sum_{r=0}^n \left(a_r x^r\right)' =
\sum_{r=0}^n a_r \left(x^r\right)' =
\sum_{r=0}^n ra_rx^{r-1}.

இதேபோல தொகையிடலில்:

\int\!\left( \sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1}  + C.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  • கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 73. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm
  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.