சிறுசில்லி

வளைவரைகளின் வகையீட்டு வடிவவியலில் சிறுசில்லி (Roulette) என்பது வளைவரைகளில் ஒரு வகையாகும். வட்டப்புள்ளியுருக்கள், வெளிவட்டப்புள்ளியுருக்கள், உள்வட்டப்புள்ளியுருக்கள், சில்லுருக்கள், வெளிச்சில்லுருக்கள், உட்சில்லுருக்கள் மற்றும் கூம்பிகள் ஆகிய வளைவரைகள் சிறுசில்லி வகையைச் சேர்ந்தவை.

வரையறை

சிறுசில்லி வரையப்படுதல்

ஒரு வளைவரையானது மற்றொரு வளைவரை மீது நழுவாமல் உருளும் போது உருளும் வளைவரையின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் பாதையை வரைந்தோமானால் கிடைக்கும் வளைவரை சிறுசில்லியாகும். அப்புள்ளி சிறுசில்லியின் உருவாக்கி அல்லது துருவப்புள்ளி எனப்படும். படத்தில் நிலையான வளைவரை ஒரு பரவளைவு (நீலம்) உருளும் வளைவரையும் ஒரு சமமான பரவளைவு (பச்சை) உருளும் வளைவரையின் உச்சியின் பாதை (சிவப்பு) ஒரு சிறுசில்லி வளைவரை. இந்தச் சிறுசில்லி, டையோக்ளசின் சிசாய்ட் (cissoid of Diocles) ஆகும்.

சிறப்பு வகைகள்

• உருளும் வளைவரை ஒரு கோடாக இருந்தால் உருவாக்கும் புள்ளி அக்கோட்டில் அமையும். இதில் சிறுசில்லி நிலையான வளைவரையின் கூம்பி என அழைக்கப்படும்.
• உருளும் வளைவரை ஒரு வட்டமாகவும் நிலையான வளைவரை கோடாகவும் இருந்தால் சிறுசில்லி சில்லுருவாகும்.
• உருளும் வளைவரை ஒரு வட்டமாகவும் நிலையான வளைவரை கோடாகவும் இருந்து உருவாக்கும் புள்ளி, அவ்வட்டத்தின் மீது அமைந்தால் சிறுசில்லி வட்டப்புள்ளியுருவாகும்.

எடுத்துக்காட்டு

இப்படிமத்தை சொடுக்கினால் கவிழ்த்தப்பட்ட சங்கிலியத் தொடர்களின் மீது எளிதாக உருளும் சதுரச் சக்கரத்தின் அசைப்படத்தைக் காணலாம்.

நிலையான வளைவரை சங்கிலியமாகவும் உருளும் வளைவரை கோடாகவும் கொண்டால்:

$f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)$

$f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).$

கீழுள்ளவாறு அமையும்படி கோட்டினை அளபுருவாக்கம் செய்ய:

$|f'(t)|\,$ $={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}$ $={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}$ $=|r'(t)|.\,$

மேலுள்ள வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்த:

$f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.$

p = −i எனில், இதன் கற்பனைப் பகுதி மாறாத ஒன்றாகவும் சிறுசில்லி கிடைமட்டக் கோடாகவும் இருக்கும். சங்கிலிய வளைவுத் தொடர்களாலான பாதையில் ஒரு சதுரச் சக்கரம் எகிறாமல் உருள்வது இதன் ஒரு சுவாரசியமான பயன்பாடு.

சிறிசில்லிகளின் பட்டியல்

நிலையான வளைவரை	உருளும் வளைவரை	உருவாக்கும் புள்ளி	சிறுசில்லி
ஏதேனுமொரு வளைவரை	கோடு	கோட்டின் மீதமையும் புள்ளி	வளைவரையின் கூம்பி
கோடு	வட்டம்	ஏதேனுமொன்று	சில்லுரு
கோடு	வட்டம்	வட்டத்தின் மீதமையும் புள்ளி	வட்டப்புள்ளியுரு
கோடு	கூம்பு வெட்டு	கூம்பு வெட்டின் மையம்	Sturm roulette
கோடு	கூம்பு வெட்டு	கூம்பு வெட்டின் குவியம்	டிலோனா சிறுசில்லி (Delaunay roulette)
கோடு	பரவளைவு	பரவளைவின் குவியம்	சங்கிலியம் (Catenary)
கோடு	நீள்வட்டம்	நீள்வட்டத்தின் குவியம்	நீள்வட்டச் சங்கிலியம்
கோடு	அதிபரவளைவு	அதிபரவளைவின் குவியம்	அதிபரவளையச் சங்கிலியம்
கோடு	அதிபரவளையம்	அதிபரவளையத்தின் மையம்	செவ்வக மிகை வளைவடிவம் (Rectangular elastica)
கோடு	உள்வட்டப்புள்ளியுரு அல்லது வெளிவட்டப்புள்ளியுரு	மையம்	நீள்வட்டம்
வட்டம்	வட்டம்	ஏதேனுமொன்று	மையப்படுத்தப்பட்ட சில்லுரு
பரவளைவு	சமபரவளைவு (எதிர்த்திசையில்)	பரவளைவின் உச்சி	Cissoid of Diocles
சங்கிலியம்	கோடு	பார்க்க:எடுத்துக்காட்டு	கோடு

மேற்கோள்கள்

• Besant, W. H. Notes on Roulettes and Glissettes, Deighton, Bell & Co., 1890. Online
• Weisstein, Eric W., "Roulette", MathWorld.

மேலும் படிக்க

• Roulette at 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (பிரெஞ்சு)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (செருமன் மொழி)