உட்சில்லுரு

சிறிய வட்டம் (கருப்பு) பெரிய வட்டத்தின் (நீலம்) உட்புறம் தொட்டவாற்று உருளும் போது வரையப்படும் உட்சில்லுரு (சிவப்பு) (இப்படத்தில் R = 5, r = 3, d = 5).

உட்சில்லுரு (hypotrochoid) என்பது ஒரு வட்டத்துடன் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட புள்ளியொன்றின் தடத்தினைக் காட்டும் சிறுசில்லி (roulette) வகையைச் சேர்ந்த ஒரு வளைவரை. தொடர்புபடுத்தப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்துக்கும் அப்புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரம் d அலகுகள். இந்த வட்டத்தின் ஆரம் r அலகுகள். இவ்வட்டம் R அலகு ஆரமுள்ள மற்றொரு நிலையான வட்டத்தின் உட்புறத்தைத் தொட்டபடியே நழுவாமல் உருளும் போது, நாம் எடுத்துக்கொண்ட புள்ளி நகர்கின்ற தடம் ஒரு வளைவரையாக இருக்கும். சிறுசில்லி வகையைச் சேர்ந்த இவ்வளைவரை, உட்சில்லுரு என அழைக்கப்படுகிறது.

d இன் அளவு r இன் மதிப்பை விடச் சிறியதாகவோ, பெரியதாகவோ அல்லது சமமாகவோஇருக்கலாம். அதாவது புள்ளி வட்டத்துக்குள்ளே, வட்டத்திற்கு வெளியே அல்லது வட்டத்தின் மீது இருக்கலாம். வட்டத்தின் மீது புள்ளி அமையும் போது உட்சில்லுரு, உள்வட்டப்புள்ளியுருவாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு

• சுழல் வரைவி -விளையாட்டுக் கருவியால் வரையப்படுபவை, உட்சில்லுரு மற்றும் வெளிச்சில்லுரு வளைவரைகள்.

உட்சில்லுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்

$x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)$

$y(\theta )=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right).$

இங்கு $\theta ,$ உருளும் வட்டத்தின் மையம் கிடைமட்டத்தோடு உண்டாக்கும் கோணம். ($\theta ,$ போலார் கோணம் அல்ல.)

சிறப்பு வகைகள்

நீள்வட்டத்தை (சிவப்பு) உட்சில்லுருவின் சிறப்பு வகையாகக் (R = 2r) கொள்ளலாம்; இப்படத்தில் R = 10, r = 5, d = 1.

• d = r எனில் உட்சில்லுரு, உள்வட்டப் புள்ளியுரு (hypocycloid) ஆக இருக்கும்.
• R = 2r உட்சில்லுரு, நீள்வட்டமாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. பக். 165–168. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-60288-5. https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr. 

வெளி இணைப்புகள்

• Flash Animation of Hypocycloid
• Hypotrochoid from Visual Dictionary of Special Plane Curves, Xah Lee
• Interactive hypotrochoide animation பரணிடப்பட்டது 2011-04-11 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Hypotrochoid", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம்.