வட்டப்புள்ளியுரு

ஒரு வட்டம் கோட்டின் வழியே உருளக் கிடைக்கும் வட்டப்புள்ளியுரு.

வட்டப்புள்ளியுரு (cycloid) என்பது ஒரு கோட்டின் வழியாக ஒரு வட்டம் நழுவாமல் உருளும்போது, அவ்வட்டத்தின் மீதமையும் ஒரு புள்ளியின் பாதையாக அமையும் வளைவரை ஆகும். இது ஒருவகைச் சிறுசில்லி.

வரலாறு

வட்டப்புள்ளியுரு முதலில் கணிதவியாலாளர் கூசாவின் நிக்கோலசாலும் (Nicholas of Cusa) பின்னர் மாரின் மெர்சனாலும் (Marin Mersenne) ஆய்வு செய்யப்பட்டது. 1599 இல் கலிலியோவால் பெயரிடப்பட்டது. 1634 இல் ஜி. பி. தே. ரோபர்வல் (G.P. de Roberval) வட்டப்புள்ளியுருவின் ஒருவளைவின் பரப்பு, அதை உருவாக்கும் வட்டத்தின் பரப்பைப் போல மூன்று மடங்கு எனக் காட்டினார். 1658 இல் கிறிஸ்டோஃபர் விரென் (Christopher Wren) இதன் ஒருவளைவின் வில்லின் நீளம், உருவாக்கும் வட்டத்தின் விட்டத்தைப் போல் நான்கு மடங்கு என நிறுவினார். 17 ஆம் நூற்றாண்டு கணிதவியாளர்களிடையே அடிக்கடி விவாதங்கள் எழக் காரணமாயிருந்தமையால் வட்டப்புள்ளியுரு "தி ஹெலென் ஆஃப் ஜியோமீட்டர்ஸ்" (The Helen of Geometers) என அழைக்கப்பட்டது.

சமன்பாடுகள்

2 அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தால் உருவாக்கப்பட்ட வட்டப்புள்ளியுரு.

ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்வதும் r அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தினால் உருவாக்கப்படுவதுமான, (x, y) புள்ளிகளைக் கொண்ட வட்டப்புள்ளியுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்:

$x = r(t - \sin t)\,$

$y = r(1 - \cos t)\,$

வட்டம் உருளுகின்ற கோணத்தின் அளவைக் (ரேடியனில்) குறிக்கும் துணையலகு t

குறிப்பிட்ட t இன் மதிப்பிற்கு, உருளும் வட்டத்தின் மையம்:

$x = rt$

$y = r$

வட்டப்புள்ளியுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகளிலிருந்து t -ஐ நீக்கக் கிடைக்கும் அதன் கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு:

$x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}$

வட்டப்புள்ளியுருவின் முதல்வளைவில் உள்ள புள்ளிகள் அமையும் வீச்சு:

$0 \le t \le 2 \pi.\,$

பரப்பு

r அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தினால் உருவாக்கப்படும் வட்டப்புள்ளியுருவின் முதல்வளைவின் பரவளைவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்:

$x = r(t - \sin t),\,$

$y = r(1 - \cos t),\,$ ($0 \le t \le 2 \pi.\,$)

இதிலிருந்து,

$\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),$

முதல்வளைவின் பரப்புக் காண:

$\begin{align} A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\ &= \left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\ &= 3 \pi r^2. \end{align}$

வில்லின் நீளம்

வட்டப்புள்ளியுருவின் ஒருவளைவின் வில்லின் நீளம் S எனில்:

$\begin{align} S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)^{1/2} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} r \sqrt{2-2\cos(t)} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\ &= 8 r. \end{align}$

தொடர்புள்ள வளைவரைகள்

வட்டப்புள்ளியுருவோடு தொடர்புடைய பல வளைவரைகள் கீழே தரப்படுகின்றன.

• குறுக்கு வட்டப்புள்ளியுரு (Curtate cycloid):

ஒரு வட்டம், ஒரு கோட்டின் வழியாக நழுவாமல் உருளும்போது, உருளும் வட்டத்துக்குள் அமையும் ஒரு புள்ளி நகரும் பாதையாகக் கிடைக்கும் வளைவரை.

• நீட்சி வட்டப்புள்ளியுரு (Prolate cycloid):

ஒரு வட்டம் ஒரு கோட்டின் வழியாக நழுவாமல் உருளும்போது, உருளும் வட்டத்துக்கு வெளியே அமையும் ஒரு புள்ளி நகரும் பாதையாகக் கிடைக்கும் வளைவரை.

• சில்லுரு (Trochoid):

வட்டப்புள்ளியுரு, குறுக்கு வட்டப்புள்ளியுரு, நீட்சி வட்டப்புள்ளியுரு ஆகிய மூன்றையும் குறிக்கும்.

• உள்வட்டப்புள்ளியுரு (Hypocycloid):

ஒரு வட்டம் மற்றொரு நிலையான வட்டத்தின் உட்புறத்தில் அதனைத் தொட்டபடியே நழுவாமல் உருளும்போது, உருளும் வட்டத்தின் மீதமையும் ஒரு புள்ளி நகரும் பாதையாகக் கிடைக்கும் வளைவரை.

• வெளிவட்டப்புள்ளியுரு (Epicycloid):

ஒரு வட்டம் மற்றொரு நிலையான வட்டத்தின் வெளிப்புறத்தில் அதனைத் தொட்டபடியே நழுவாமல் உருளும்போது, உருளும் வட்டத்தின் மீதமையும் ஒரு புள்ளி நகரும் பாதையாகக் கிடைக்கும் வளைவரை.

• உட்சில்லுரு (Hypotrochoid):

இவ்வளைவரை உள்வட்டப்புள்ளியுருவைப் போன்றதே. ஆனால் இதில் பாதை கணிக்கப்படும் புள்ளி, உருளும் வட்டவிளிம்பில் இருக்க வேண்டியதில்லை.

• வெளிச்சில்லுரு:

இவ்வளைவரை வெளிவட்டப்புள்ளியுருவைப் போன்றதே. ஆனால் இதில் பாதை கணிக்கப்படும் புள்ளி, உருளும் வட்டவிளிம்பில் இருக்க வேண்டியதில்லை.

மேலே தரப்பட்டுள்ள வளைவரைகள் அனைத்தும் சிறுசில்லிகளாகும்.

வட்டப்புள்ளியுரு, உள்வட்டப்புள்ளியுரு, வெளிவட்டப்புள்ளியுருரு மூன்றும் அவற்றின் மலரிகளோடு வடிவொத்தவையாக இருக்கும்.

கிம்பெல் கலை அருங்காட்சியகக் கட்டிடத்தில் காணப்படும் வட்டவுரு அமைப்பு

மேலும் படிக்க

• An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
• Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematics and the Imagination, pp 196–200, Simon & Schuster.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 445–47. ISBN 0-14-011813-6. 

வெளி இணைப்புகள்

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cycloid", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Cycloid.html .
• Weisstein, Eric W., "Cycloid" from MathWorld. Retrieved April 27, 2007.
• Cycloids at cut-the-knot
• A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library.
• Cycloid Curves by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.
• Cycloid on PlanetPTC (Mathcad