இடமாற்று அணி

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search
A அணியை முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளிப்பதால் அதன் இடமாற்று அணி AT ஐப் பெறலாம். மீண்டும் AT ஐ மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தால் மூல அணி A கிடைக்கும்.

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஓர் அணியின் இடமாற்று அல்லது இடமாற்று அணி அல்லது நிரை-நிரல் மாற்று அணி (transpose) என்பது மூல அணியின் நிரைகளை நிரல்களாகவும் நிரல்களை நிரைகளாகவும் இடம் மாற்றுவதால் பெறப்படும் அணியாகும். A என்ற அணியின் இடமாற்று அணியின் குறியீடு: AT ஆகும். இடமாற்று அணி A′, Atr, tA At எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் செயல்களில் ஏதேனுமொன்றின் மூலம் இடமாற்று அணியைப் பெறலாம்:

இடமாற்று அணி AT இன் i ஆவது நிரையிலும் j ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பானது, மூல அணியான A இன் j ஆவது நிரையிலும் i ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பாக இருக்கும்:

A இன் வரிசை m × n எனில், AT இன் வரிசை n × m ஆகும்.

1858 இல் பிரித்தனிய கணிதவியலாளர் ஆர்தர் கெய்லி, இடமாற்று அணியை அறிமுகப்படுத்தினார்.[1]

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

பண்புகள்[தொகு]

A, B இரு அணிகள்; c ஒரு திசையிலி எனில், இடமாற்று அணி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

  1. இடமாற்று காணும் செயல் ஒரு சுருள்வு ஆகும். அதாவது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.
  2. இப்பண்பில் அணிகளின் இடங்கள் திருப்பியமைவதைக் காணலாம். எனவே AT நேர்மாற்றத்தகதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சதுர அணி A நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்.
    (A−1)T = (AT)−1. :(A1A2...Ak−1Ak)T = AkTAk−1T...A2TA1T.
  3. ஒரு சதுர அணி மற்றும் அதன் இடமாற்று அணி இரண்டின் அணிக்கோவைகளும் சமம்.
  4. a , b என்பன இரு நிரல் திசையன்கள் எனில், அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் a இன் இடமாற்று அணி, b அணி இரண்டின் பெருக்கலுக்குச் சமமாகும்.
  5. நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இடமாற்றும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் இடமாற்று அணியின் நேர்மாறு மூல அணியின் நேர்மாறின் இடமாற்று அணியாக இருக்கும். A−T குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
  6. ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.[2]

சிறப்பு வகைகள்[தொகு]

A ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:
  • ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியின் எதிர் அணியாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணி எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.
A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:
  • சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
A ஒரு ஹெர்மைட் அணி எனில்:
  • சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், ஒத்த மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் எதிர் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
A ஒரு எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனில்:
ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி செங்குத்து அணி ஆகும்.
A செங்குத்து அணி எனில்:
சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் இணை நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி அலகுநிலை அணி ஆகும்.
A அலகுநிலை அணி எனில்:

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
  2. "Is a matrix multiplied with its transpose something special?" Proof in answer on StackExchange.com,

மேலதிக வாசிப்புக்கு[தொகு]

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=இடமாற்று_அணி&oldid=2132378" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது