அணி (கணிதம்)

இக்கட்டுரை அணி (கணிதம்) என்ற தலைப்பைப் பற்றியது. பிற பயன்பாடுகள் இங்கே: அணி இலக்கணம்‎

அணியில் உள்ள வரிசைகளும் நிரல்களும் காட்டப்பட்டுள்ளன. படத்தில் 7 என்னும் எண் இரண்டாவது வரிசையிலும் மூன்றாவது நிரலிலும் இருப்பதால் அந்த "உறுப்பு"தனை (2,3) என்று குறிக்கலாம். இந்த உறுப்பை $a_{2,3}$$a_{2,3}$ என்று குறிப்பது வழக்கம்.

கணிதத்தில் அணி (matrix) அல்லது தாயம் (இலங்கை வழக்கு) என்பது m வரிசை (அல்லது நிரை) களும் n நிரல்களும் கொண்ட ஒரு செவ்வகப்பட்டியல். வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் ஒன்றாக இருந்தால் அது சதுர அணி ( m = n) ஆகும். இப்பட்டியலில் உள்ள உறுப்புக்கள் எண்களாகத்தான் இருக்கவேண்டிய கட்டாயம் இல்லை. ஆனால் கணிதத்தில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அணியின் உறுப்புக்கள் எண்களாகவோ அல்லது வேறு எதுவாகவோ இருந்தாலும் அவை ஒன்றுக்கொன்று கூட்டல் என்று வரையறை செய்யப்படும் செயலுக்கும் பெருக்கல் என்று வரையறை செய்யப்படும் செயலுக்கும் பொருள் கொடுப்பதாக இருக்கவேண்டும். முக்கியமாக எங்கெங்கெல்லாம் நேரியல் சமன்பாடுகள் அல்லது நேரியல் உருமாற்றங்கள் தோன்றுகின்றனவோ அங்கெல்லாம் அணிகள் பயன்படும். அணிகளின் தனித்தனிப் பயன்பாடுகளைக் கோவையாகக் கொடுப்பது தான் அணிக்கோட்பாடு. இதனால் அணிக்கோட்பாட்டை நேரியல் இயற்கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகவும் கருதுவதுண்டு.

பொது வரையறை

F என்பது ஒரு பரிமாற்றுக்களம் என்று கொள்க. பின்வரும் செவ்வகப்பட்டியலுக்கு F இல் கெழுக்களைக்கொண்ட $m\times n$$m\times n$ அணி A என்று பெயர்:

A = ${\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{pmatrix}}$

இதை ${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{bmatrix}}$ என்றும் எழுதுவதுண்டு.

இவைகளை சுருக்கமாக எழுதவேண்டின், A = $(a_{i,j})_{m\times n}$$(a_{i,j})_{m\times n}$ அல்லது $(a_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant n}$$(a_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant n}$

என்று எழுதுவது வழக்கம். Fஇல் கெழுக்களைக்கொண்டதென்றால், $a_{i,j}$$a_{i,j}$ எல்லாம் களம் F இன் உறுப்புக்கள் என்று கொள்ளவேண்டும்.இந்த அடிப்படைக்களம் F இலிருந்துதான் அணியின் உறுப்புக்கள் வருவன என்பதை அணிக்குறியீட்டிலும் காட்டவேண்டியிருந்தால், அணியை A(F) என்று குறிப்பிடுவோம்.

ஒரு $m\times n$$m\times n$ அணியில் m வரிசைகளும் n நிரல்களும் உள்ளன.

இங்கு $a_{i,j}$$a_{i,j}$ என்பதை அணியின் (i,j)-யாவது உறுப்பு என்றும் சொல்வர். (i,j)-யாவது உறுப்பு i-யாவது வரிசையும் j-யாவது நிரலும் வெட்டும் இடத்தில் உள்ள உறுப்பேயாகும்.

$1\times n$$1\times n$ அணியை வரிசை அணி அல்லது வரிசைத்திசையன் என்றும்,குறிப்பாக, n-பரிமாண வரிசைத்திசையன் என்றும்,

$m\times 1$$m\times 1$ அணியை நிரல் அணி அல்லது நிரல் திசையன் என்றும், குறிப்பாக, m-பரிமாண நிரல்திசையன் என்றும் சொல்வர்.

எ.கா.

${\begin{pmatrix}2&-3&27&-1\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}2&-3&27&-1\end{pmatrix}}$ ஒரு 4-பரிமாண வரிசைத்திசையன்.

${\begin{pmatrix}2\\-3\\27\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}2\\-3\\27\end{pmatrix}}$ ஒரு 3-பரிமாண நிரல் திசையன்.

சதுர அணி

வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் சமமானால் (m = n) அவ்வணிக்கு சதுர அணி என்று பெயர்.உறுப்புக்கள் $a_{1,1}$$a_{1,1}$ , $a_{2,2}$$a_{2,2}$ ... $a_{n,n}$$a_{n,n}$ க்கு பிரதான மூலைவிட்டத்து உறுப்புக்கள் எனப்படும்.

இடமாற்று அணி

ஒரு அணி A இன் வரிசைகளையும் நிரல்களையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறுவோமானால் கிடைக்கும் அணி இடமாற்று அணி, அணித்திருப்பம், இடம் மாற்றிய அணி, திருப்பிய அணி எனப் பலவிதமாகவும் சொல்லப்படும். அதை A^T என்ற குறியீட்டால் குறிப்பர். இதை

A^T = ($a_{i,j}$$a_{i,j}$)^T = ($a_{j,i}$$a_{j,i}$) என்றும் எழுதலாம்.

எ.கா.:

A = ${\begin{pmatrix}1&2&2i\\-4&5&0\\7&8&9\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&2&2i\\-4&5&0\\7&8&9\end{pmatrix}}$

இதனுடைய இடமாற்று அணி

A^T = ${\begin{pmatrix}1&-4&7\\2&5&8\\2i&0&9\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&-4&7\\2&5&8\\2i&0&9\end{pmatrix}}$

• A = ${\begin{pmatrix}1&2\\-4&5\\7&8\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&2\\-4&5\\7&8\end{pmatrix}}$

இதனுடைய இடமாற்று அணி

A^T = ${\begin{pmatrix}1&-4&7\\2&5&8\\\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&-4&7\\2&5&8\\\end{pmatrix}}$

அணிகளின் கூட்டல்

A = A(C) = ($a_{i,j}$$a_{i,j}$), B = B(C) = ($b_{i,j}$$b_{i,j}$), இரண்டு $m\times n$$m\times n$ அணிகள் என்று கொண்டால், A + B க்கு வரையறை,

A + B = $(a_{i,j}+b_{i,j})$$(a_{i,j}+b_{i,j})$.

எ.கா.:

${\begin{pmatrix}0&-1&3&1+i\\1&0&-2i&-i\\2&2&2&2\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}0&-1&3&1+i\\1&0&-2i&-i\\2&2&2&2\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&1&2&3\\-2+i&-2&-2&2\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&1&2&3\\-2+i&-2&-2&2\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0&4&2+i\\0&1&2-2i&3-i\\i&0&0&4\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&0&4&2+i\\0&1&2-2i&3-i\\i&0&0&4\end{pmatrix}}$

அணிகளின் அளவெண் பெருக்கல்

A = A(F) = (a_i,j) ஒரு $m\times n$$m\times n$ அணி என்று கொள்வோம்.

F இல் $\lambda$$\lambda$ என்ற ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் $\lambda \times A$$\lambda \times A$ அல்லது $\lambda A$$\lambda A$ கீழ்க்கண்டபடி வரையறுக்கப்படுகிறது:

$\lambda A=\lambda (a_{i,j})=(\lambda a_{i,j})$$\lambda A=\lambda (a_{i,j})=(\lambda a_{i,j})$

இந்தச் செயல்முறைக்கு, அளவெண்பெருக்கல் (scalar multiplication) என்று பெயர்.

எ.கா.:

A = A(C) = ${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&1&2&3\\-2+i&-2&-2&2\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&1&2&3\\-2+i&-2&-2&2\end{pmatrix}}$

என்றால், (2i) A = ${\begin{pmatrix}2i&2i&2i&2i\\-2i&2i&4i&6i\\2i(-2+i)&-4i&-4i&4i\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}2i&2i&2i&2i\\-2i&2i&4i&6i\\2i(-2+i)&-4i&-4i&4i\end{pmatrix}}$

அணிப் பெருக்கல்

முதலில் ஒரு n-பரிமாண வரிசைத்திசையனையும் இன்னொரு n-பரிமாண நிரல் திசையனையும் புள்ளிப் பெருக்கல் செய்வோம்.

$\mathbf {a} =(a_{i})_{1\times n};\mathbf {b} =(b_{j})_{n\times 1}$$\mathbf {a} =(a_{i})_{1\times n};\mathbf {b} =(b_{j})_{n\times 1}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

மேலுள்ளதில் Σ என்னும் குறி தொடர் கூட்டுத் தொகைக் குறி ஆகும்.

ஒரு $m\times n$$m\times n$ அணியையும் $n\times p$$n\times p$ அணியையும் பெருக்குவதற்குள்ள வரையறை பல படிகளைக்கொண்டது.

$A=(a_{i,j})_{m\times n}$$A=(a_{i,j})_{m\times n}$

$B=(b_{i,j})_{n\times p}$$B=(b_{i,j})_{n\times p}$

படி 1: A இனுடைய வரிசைகளை வரிசைத்திசயன்களாகப்பார்: வரிசை 1, வரிசை 2, ... வரிசை i, ... வரிசை m . அதாவது R1, R2, ...Ri, .... Rm

படி 2: B இனுடைய நிரல்களை நிரல் திசையன்களாகப்பார் : நிரல் 1, நிரல் 2, ... நிரல் j, ... நிரல் p. அதாவது, C1, C2, ... Cj, ... Cp

படி 3: A இனுடைய ஒவ்வொரு வரிசைத்திசையனையும் B இனுடைய ஒவ்வொரு நிரல்திசையனுடன் புள்ளிப்பெருக்கு. ஒவ்வொரு புள்ளிப்பெருக்கலும் ஒரு எண்ணைத்தரும்.அவ்வெண்களை படி 4 இல் காட்டிய செவ்வகப்பட்டியல்படி அணியாக எழுது.

படி 4: ${\begin{pmatrix}R1\cdot C1&R1\cdot C2&\dots &R1\cdot Cp\\R2\cdot C1&R2\cdot C2&\dots &R2\cdot Cp\\\dots &\dots &\dots &\dots \\Rm\cdot C1&Rm\cdot C2&\dots &Rm\cdot Cp\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}R1\cdot C1&R1\cdot C2&\dots &R1\cdot Cp\\R2\cdot C1&R2\cdot C2&\dots &R2\cdot Cp\\\dots &\dots &\dots &\dots \\Rm\cdot C1&Rm\cdot C2&\dots &Rm\cdot Cp\end{pmatrix}}$

படி 5. இந்த அணிதான் AB. அதாவது அணி A ஐயும் B ஐயும் பெருக்கி வந்த அணி. இது ஒரு $m\times p$$m\times p$ அணி.

எ.கா. A = ${\begin{pmatrix}3&1&2\\0&-1&1\\1&0&-2\\2&-2&0\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}3&1&2\\0&-1&1\\1&0&-2\\2&-2&0\end{pmatrix}}$ , B = ${\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\-2&3\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\-2&3\end{pmatrix}}$

A ஒரு $4\times 3$$4\times 3$ அணி; B ஒரு $3\times 2$$3\times 2$ அணி. ஆகையால் AB ஒரு $4\times 2$$4\times 2$ அணியாக இருக்கும்.

AB = ${\begin{pmatrix}R1\cdot C1&R1\cdot C2\\R2\cdot C1&R2\cdot C2\\R3\cdot C1&R3\cdot C2\\R4\cdot C1&R4\cdot C2\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}R1\cdot C1&R1\cdot C2\\R2\cdot C1&R2\cdot C2\\R3\cdot C1&R3\cdot C2\\R4\cdot C1&R4\cdot C2\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}3+0-4&-3+1+6\\0+0-2&0-1+3\\1+0+4&-1+0-6\\2+0+0&-2-2+0\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}3+0-4&-3+1+6\\0+0-2&0-1+3\\1+0+4&-1+0-6\\2+0+0&-2-2+0\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}-1&4\\-2&2\\5&-7\\2&-4\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}-1&4\\-2&2\\5&-7\\2&-4\end{pmatrix}}$

அணிப் பெருக்கலுக்குப் பொது வரையறை

இப்பொழுது பொது வரையறை கொடுப்பது எளிது.

A = $(a_{i,j})_{m\times n}$$(a_{i,j})_{m\times n}$

B = $(b_{i,j})_{n\times p}$$(b_{i,j})_{n\times p}$

AB = $(c_{i,j})_{m\times p}$$(c_{i,j})_{m\times p}$ இங்கு $c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$$c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$

$=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+...+a_{i,n}b_{n,j}$$=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+...+a_{i,n}b_{n,j}$

அணிப்பெருக்கலின் சில முக்கிய பண்புகள்

1. A ஒரு $p\times q$$p\times q$ அணியாகவும், B ஒரு $r\times s$$r\times s$ அணியாகவும் இருந்தால் , q = r ஆக இருந்தாலொழிய பெருக்கல் AB வரையறுக்கப்படவில்லை.

2. A, B இரண்டும் சதுர அணிகளானால், AB, BA இரண்டும் வரையறுக்கப்பட்ட அணிகள். ஆனால் அவை சமமாய் இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. இதனால் அணிப்பெருக்கல் ஒரு பரிமாறா செயல்முறை.

எ.கா.: $A={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}3&0\\1&-1\end{bmatrix}},C={\begin{bmatrix}1&-2\\2&-1\end{bmatrix}},D={\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}3&0\\1&-1\end{bmatrix}},C={\begin{bmatrix}1&-2\\2&-1\end{bmatrix}},D={\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

என்றால்,

$AB={\begin{bmatrix}3&0\\7&-1\end{bmatrix}}$$AB={\begin{bmatrix}3&0\\7&-1\end{bmatrix}}$ மற்றும், $BA={\begin{bmatrix}3&0\\-1&-1\end{bmatrix}}$$BA={\begin{bmatrix}3&0\\-1&-1\end{bmatrix}}$ $\therefore AB\neq BA$$\therefore AB\neq BA$.

ஆனால், $CD={\begin{bmatrix}-1&-1\\1&-2\end{bmatrix}}=DC.$$CD={\begin{bmatrix}-1&-1\\1&-2\end{bmatrix}}=DC.$

இவற்றையும் பர்க்கவும்

ஹெர்மைட் அணி