செங்குத்து அணி

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் எண்களை அணியாய் வகுத்து அவ்வணிகளை எண்களைப்போல் இயற்கணிதத்துக் உட்படுத்தலாம் என்ற கருத்து 19வது நூற்றாண்டிலிருந்து செயல்படத் துவங்கியது. அணிக் கோட்பாடு என்ற இன்றைய கணிதப்பிரிவு கணிதத்தின் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும் பயன்படும் ஒரு சாதனம். அணிக்கோட்பாட்டில் பற்பல சிறப்பு வாய்ந்த அணிவகைகள் பேசப்படுகின்றன. அவைகளில் ஒன்றுதான் செங்குத்து அணி (Orthogonal Matrix).

இடமாற்று அணி[தொகு]

ஒரு சதுர அணி A இன் வரிசைகளையும் நிரல்களையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறுவோமானால் கிடைக்கும் அணி இடமாற்று அணி, அணித்திருப்பம், இடம் மாற்றிய அணி, திருப்பிய அணி எனப் பலவிதமாகவும் சொல்லப்படும். அதை AT என்ற குறியீட்டால் குறிப்பர். இதை

AT = (a_{i,j})T = (a_{j,i}) என்றும் எழுதலாம்.

செங்குத்து அணியின் வரையறை[தொகு]

மெய்யெண்களைக்கொண்ட ஒரு சதுர அணி M கீழுள்ள பண்பைக் கொண்டிருக்குமானால் அது செங்குத்து அணி எனப்படும்:

M^T = M^{-1} .

இங்கு M^{-1} என்பது M இன் நேர்மாற்று அணி. இதையே

MM^T = I = M^T M என்றும் எழுதலாம். இங்கு I என்பது முற்றொருமை அணி.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • \begin{pmatrix}
cos\theta & sin\theta \\
-sin\theta & cos\theta 
\end{pmatrix}
  • \frac{1}{\surd{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
  • \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
  • \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}

குறிப்பு1.: செங்குத்து அணிகளெல்லாம் நேர்மாறு உள்ள அணிகள். அதாவது, அவை வழுவிலா அணிகள்.

குறிப்பு2.: மெய்யெண்களுக்குப்பதிலாக சிக்கலெண்களைக் கொண்ட சதுர அணிகளில் செங்குத்து அணிகளை ஒத்த, ஆனால் சிக்கல் எண் நிலைக்காக சிறிது மாறான, பண்பைப் பெற்றிருப்பவைகளை அலகு நிலை அணி (Unitary Matrix) என்பர்.

முக்கிய பண்புகள்[தொகு]

  • முற்றொருமை அணி ஒரு செங்குத்து அணி. செங்குத்து அணியின் நேர்மாறு அணியும் செங்குத்து அணி. இதனால் n \times n செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு n-கிரமச்செங்குத்துக் குலம் என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு O_n(\mathbf{R}).
  • n \times n செங்குத்து அணி M ஆல் வரையறுக்கப்படும் நேரியல் கோப்பு உட்பெருக்குகளைக் காக்கும். அதாவது, ஒவ்வொரு ஜோடி n-திசையன்கள்  u, v க்கும் (u,v) = (Mu, Mv). மற்றும், உட்பெருக்குகளைக் காக்கும் அணிகள் இவைகளே.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=செங்குத்து_அணி&oldid=1347359" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது