அண்டை அணி

கோட்டுருவியல் மற்றும் கணினியியலில் அண்டை அணி (adjacency matrix) என்பது ஒரு முடிவுறு கோட்டுருவைக் குறிக்கும் சதுர அணியாகும். அண்டை அணியின் உறுப்புகள் அக்கோட்டுருவின் ஒவ்வொரு சோடி கணுக்களும் அடுத்தடுத்து அமைந்துள்ளனவா இல்லையா என்பதைக் காட்டுகின்றன.

சிறப்புவகை முடிவுறு கோட்டுருவின் அண்டை அணியானது, மூலைவிட்ட உறுப்புகளை பூச்சியமாகக் கொண்ட (0,1)-அணியாகும். கோட்டுருவின் விளிம்புகள் அனைத்தும் இருதிசைகொண்டதாக இருந்தால், அக்கோட்டுருவின் அண்டை அணி, சமச்சீர் அணியாகும். நிறப்பிரிகை கோட்டுரு கோட்பாட்டில், ஒரு கோட்டுருவுக்கும் அதன் அண்டை அணியின் ஐகென் திசையன்கள் மற்றும் ஐகென் மதிப்புகளுக்கு இடைப்பட்ட தொடர்புகள் குறித்த ஆய்வு இடம்பெறுகிறது.

ஒரு கோட்டுருவின் அண்டை அணியானது, அக்கோட்டுருவின் படுகை அணியிலிருந்தும் அடுக்கெண் அணியிலிருந்தும் வேறுபட்டது. படுகை அணியின் உறுப்புகள், கோட்டுருவின் கணு-விளிம்பு சோடி ஒவ்வொன்றும் இணைப்புடையதா இல்லையா என்பதைக் காட்டுகின்றன. அடுக்கெண் அணியின் உறுப்புகள் கோட்டுருவின் ஒவ்வொரு கணுவின் அடுக்கெண்ணைப் பற்றிய விவரத்தைத் தருகின்றன.

வரையறை

ஒரு எளிய கோட்டுருவின் முனைகளின் கணம் $U = {u 1, \dots, u n}$ எனில், அதன் அண்டை அணி, $A$ என்ற $n \times n$ சதுர அணியாக குறிக்கப்படுகிறது. கோட்டுருவின் $u i$ முனையிலிருந்து, $u j$ முனைக்கு செல்லும் விளிம்பு இருந்தால் அண்டை அணியின் உறுப்பான $A ij$ இன் மதிப்பு '1' ஆகவும், விளிம்பு இல்லை என்றால் '0' ஆகவும் இருக்கும்.^[1] எளிய கோட்டுருக்களில் கண்ணிகள் கிடையாதென்பதால், ஒரே முனையிலிருந்து அதே முனைக்குச் செல்லும் விளிம்புகள் (கண்ணி) இருக்காது. எனவே எளிய கோட்டுருவின் அண்டை அணியின் மூலைவிட்ட உறுப்புகளெல்லாம் பூச்சியமாக இருக்கும். சில சமயங்களில் இயற்கணிதக் கோட்டுருவியல் கோட்பாட்டில், அண்டை அணியின் பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் மாறிகளாக இருக்கும்.^[2] பல்கோட்டுருக்களுக்கும் கண்ணிகளுடைய கோட்டுருக்களுக்கும் அண்டை அணியை வரையறை செய்யலாம். இத்தகைய அண்டை அணிகளின் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் பூச்சியமற்றவையாக இருக்கும். திசையிட்ட கோட்டுருக்களில் ஒவ்வொரு கண்ணியும் ஒரு விளிம்பாகவும், திசையிடா கோட்டுருக்களில் ஒவ்வொரு கண்ணியும் இரு விளிம்புகளாகவும் கொள்ளப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்

திசையில்லா கோட்டுருக்கள்

ஒவ்வொரு விளிம்புக்கும் அண்டை அணியில் அதற்குரிய அறையில் எண் '1' உம், ஒவ்வொரு கண்ணிக்கும் எண் '2' உம் இடப்படுகின்றன.^[3]

பெயரிட்ட கோட்டுரு	அண்டை அணி
	${\begin{pmatrix}2&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}}$ Coordinates are 1–6.
நௌரு கோட்டுரு	Coordinates are 0–23. White fields are zeros, colored fields are ones.

திசையுள்ள கோட்டுருக்கள்

திசையுள்ள கோட்டுருக்களின் அண்டை அணி சமச்சீர்மையற்றதாக இருக்கக்கூடும்.

திசையுள்ள கோட்டுருக்களின் அண்டை அணி கீழ்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

பூச்சியமற்ற $A ij$ உறுப்பானது முனை $i$ இலிருந்து, முனை $j$ க்கு விளிம்பு உள்ளதைக் குறிக்கும்.

(அல்லது)

$j$ இலிருந்து $iக்கு$ விளிம்பு உள்ளதைக் குறிக்கும்.

முந்தைய வரையறை கோட்டுரு கோட்பாடு, சமுதாயவியல், அரசியல் அறிவியல், பொருளியியல், உளவியல் போன்ற பிரிவுகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.^[4]

பிந்தைய வரையறை, பிற பயன்பாட்டு அறிவியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.^[5]

பெயரிட்ட கோட்டுரு	அண்டை அணி
S₄ இன் திசையுள்ள கெய்லி கோட்டுரு	Coordinates are 0–23. திசையுள்ள கோட்டுருவின் அண்டை அணி, சமச்சீரானதாக இருக்க வேண்டியதில்லை.

மேற்கோள்கள்

↑ Biggs, Norman (1993), Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, Definition 2.1, p. 7.
↑ Harary, Frank (1962), "The determinant of the adjacency matrix of a graph", SIAM Review, 4 (3): 202–210, Bibcode:1962SIAMR...4..202H, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1137/1004057, MR 0144330.
↑ (2003-12-18) "Expander graphs and codes". {{{booktitle}}}, 63, American Mathematical Society.
↑ Borgatti, Steve; Everett, Martin; Johnson, Jeffrey (2018), Analyzing Social Networks (2nd ed.), SAGE, p. 20
↑ Newman, Mark (2018), Networks (2nd ed.), Oxford University Press, p. 110

வெளியிணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Adjacency matrix", MathWorld.
Fluffschack — an educational Java web start game demonstrating the relationship between adjacency matrices and graphs.
Open Data Structures - Section 12.1 - AdjacencyMatrix: Representing a Graph by a Matrix, Pat Morin
Café math : Adjacency Matrices of Graphs : Application of the adjacency matrices to the computation generating series of walks.

[1] Biggs, Norman (1993), Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, Definition 2.1, p. 7.

[2] Harary, Frank (1962), "The determinant of the adjacency matrix of a graph", SIAM Review, 4 (3): 202–210, Bibcode:1962SIAMR...4..202H, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1137/1004057, MR 0144330.

[3] (2003-12-18) "Expander graphs and codes". {{{booktitle}}}, 63, American Mathematical Society.

[4] Borgatti, Steve; Everett, Martin; Johnson, Jeffrey (2018), Analyzing Social Networks (2nd ed.), SAGE, p. 20

[5] Newman, Mark (2018), Networks (2nd ed.), Oxford University Press, p. 110

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]