குலச் சமஅமைவியம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

நுண்புல இயற்கணிதத்தில் குலச் சமஅமைவியம் (group isomorphism) என்பது இரு குலங்களின் உறுப்புகளுக்கிடையில் ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பினை ஏற்படுத்தும் சார்பாகும். இரு குலங்களுக்கிடையே சமஅமைவியம் இருக்குமானால் அவையிரண்டும் சமஅமைவியமுடைய குலங்கள் எனப்படும். சமஅமைவியமுடைய குலங்களின் பண்புகள் ஒரேமாதிரியாக அமைந்திருக்கும்.

வரையறையும் குறியீடும்[தொகு]

(G, *) , (H, \odot) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக் குலக் காப்பமைவியமாகும்.

வரையறை:

f : G \rightarrow H
 f(u * v) = f(u) \odot f(v) , \forall u , v \in G.

குறியீடு: (G, *) , (H, \odot) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:

(G, *) \cong (H, \odot)

இரு குலங்களின் ஈருறுப்புச் செயலிகளும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

G \cong H

சிலசமயங்களில் G = H எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது.

மறுதலையாக, குலம் (G, *); கணம் H; இருவழிக்கோப்பு f : G \rightarrow H மூன்றும் தரப்பட்டால்,

f(u) \odot f(v) = f(u * v)

என வரையறுப்பதன் மூலம் H கணத்தை (H, \odot) எனும் குலமாக்கலாம்.

H = G , \odot = * எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (\mathbb{R},+), நேர் மெய்யெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (\mathbb{R}+,×): சமஅமைவியமுடையது:
(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \times)

சமஅமைவியம்:

f(x) = e^x , \forall x \in \mathbb{R}
\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1

சமஅமைவியம்:

f(x + \mathbb{Z}) = e^{2 \pi xi} ,\forall x \in \mathbb{R}
  • (G, *) ஒரு முடிவுறா சுழற் குலம் எனில் முழு எண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (G, *) சமஅமைவியம் கொண்டது.
  • மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (\mathbb{R}, +) சிக்கலெண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (\mathbb{C}, +) சமாமைவியமுடையது.

பண்புகள்[தொகு]

  • (G, *) லிருந்து (H, \odot) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {eG} ஆக இருக்கும். இங்கு eG, (G, *) குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு.
  • (G, *) , (H,\odot) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது G ஏபெல் குலமாக இருந்தால் H ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும்.
  • (G, *) , (H, \odot) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (f), G இன் ஒரு உறுப்பு a இன் வரிசை n எனில், H இல் f(a) இன் வரிசையும் n ஆக இருக்கும்.
  • (G, *) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட (H, \odot) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும்
  • குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.

சுழற் குலங்கள்[தொகு]

தரப்பட்ட கிரமமுள்ள அனைத்து சுழற் குலங்களும் (\mathbb{Z}_n, +_n) உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை.

நிறுவல்

G , n கிரம குலம் என்க. G ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம்.

<x>=\{e,x,...,x^{n-1}\}.

\varphi எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

\varphi : G \rightarrow \mathbb{Z}_n=\{0,1,...,n-1 \}, :\varphi(x^a)=a.

இச்சார்பு இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது.

\varphi(x^a \cdot x^b) = \varphi(x^{a+b}) = a+b = \varphi(x^a)+_n \varphi(x^b)

எனவே,

G \cong \mathbb{Z}_n, +_n.

விளைவுகள்[தொகு]

f : G \rightarrow H எனும் சமஅமைவியம், G இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் H இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது:

f(e_G) = e_H;

அதேபோல் G இல் உள்ள நேர்மாறு உறுப்பை H இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது:

f(u^{-1}) = \left[ f(u) \right]^{-1}

பொதுவாக,

f(u^n)= \left[ f(u) \right]^n , \forall u \in G

மேலும் f இன் நேர்மாறு f^{-1} : H \rightarrow G ம் ஒரு குல சம அமைவியம்.

"சமஅமைவியமானது" என்ற உறவு, ஒரு சமான உறவிற்கான அனைத்து அடிக்கோள்களையும் நிறைவுசெய்கிறது.

f : G \rightarrow H என்பது சமஅமைவியம் எனில் G இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே f மூலம் H இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் H லிருந்து G க்கும்).

தன்னமைவியம்[தொகு]

குலம் (G,*) லிருந்து (G,*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்:

f : G \rightarrow G,

f(u) * f(v) = f(u * v), \forall u, v \in G.

தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு இணையியப் பகுதியை அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு உறுப்பின் கிரமமும் அதன் எதிருருவின் கிரமமும் சமமாக இருக்கும்.

இரு தன்னமைவியங்களின் சேர்ப்பும் மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் G குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் G இன் தன்னமைவியக் குலம் என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(G).

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  • Herstein, I. N., Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), ISBN 0-471-01090-1.
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=குலச்_சமஅமைவியம்&oldid=1447350" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது