சார்புகளின் தொகுப்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
f மற்றும் g -சார்புகளின் இணைப்புச் சார்பு gf.
(gf)(c) = #.

கணிதத்தில் சார்புகளின் தொகுப்பு அல்லது சார்புகளின் இணைப்பு (composition of functions) என்பது ஒரு சார்பின் விளைவின் மீது மற்றொரு சார்பைப் பயன்படுத்துவதாகும். f: XY மற்றும் g: YZ என்ற இரு சார்புகளை எடுத்துக்கொண்டால், f சார்பின்படி உள்ளீடு x -ன் வெளியீடு f(x) -ஐ g சார்பின் உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு அதற்குரிய வெளியீட்டைக் கணக்கிடுவது இவ்விரு சார்புகளின் தொகுப்பாகும்.

தொகுப்புச் சார்பு gf: XZ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

 g \circ f (x) = g(f(x)),  \forall a\in\Bbb{X}

சேர்ப்புப் பண்பு:

சார்புகளின் தொகுப்பு சேர்ப்புப் பண்புடையது.

f, g, மற்றும் h மூன்றும் தகுந்த ஆட்களம், இணையாட்களம் கொண்ட மூன்று சார்புகள் எனில்:

 g \circ (f \circ h ) = (g \circ f ) \circ h

அடைப்புக்குறிகளை இடம் மாற்றுவதால் எந்தவொரு பாதிப்பும் இராது என்பதால் இக்கூற்றை அடைப்புக்குறிகள் இல்லாமலும் எழுதலாம்.

பரிமாற்றுப் பண்பு:

 g \circ f  = f \circ g  எனில் g மற்றும் f ஆகிய இரு சார்புகளும் பரிமாற்றத்தக்க சார்புகள்.

பொதுவாக, சார்புகளின் தொகுப்புக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. சில குறிப்பிட்ட சார்புகள் மட்டுமே அதுவும் சில சிறப்புச் சூழ்நிலைகளில் மட்டுமே பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டிருக்கும்.

x \ge 0 என்னும்போது மட்டுமே

\left| x \right| + 3 = \left| x + 3 \right|\, என்பது உண்மை.

எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

முக்கோணம் EFA -ஐ முக்கோணம் ATB -ஆக மாற்றும் வடிவொப்புமை உருமாற்றமானது ஒத்தநிலை உருமாற்றம் H  மற்றும் சுழற்சி உருமாற்றம் R ஆகிய இரு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பாகும். இவ்விரு உருமாற்றங்களின் மையங்கள் ஒரே புள்ளி(S) ஆகும். R  -சுழற்சியால் A  -ன் எதிருரு U, அதாவது, R ( A ) = U.  மேலும் H ( U ) = B. , H ( R ( A ) )  =  (HR) ( A )  =  B.

t நேரத்தில் ஒரு வானூர்தி பறக்கும் உயரத்தைக் குறிக்கும் சார்பு h(t) மற்றும் x உயரத்தில் இருக்கக்கூடிய ஆக்ஸிஜனின் அளவைக் குறிக்கும் சார்பு c(x) எனில், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு (ch)(t) , t நேரத்தில் அந்த வானூர்தியைச் சுற்றியுள்ள பகுதியின் ஆக்ஸிஜன் அளவைக் குறிக்கும்.

சார்பின் அடுக்குகள்[தொகு]

Y \subseteq X எனில் f\colon X\rightarrow Y சார்பை அதனுடனேயே தொகுக்கலாம்.

அவ்வாறு செய்யப்படும் தொகுப்புச் சார்பின் குறியீடு: f^2\,.

(f\circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x)
(f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f^3(x)

ஒரு சார்பை அச்சார்புடனேயே மீண்டும் மீண்டும் தொகுப்பு காண்பது சார்புத் தொடர்தல் எனப்படும்.

f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1}, n\, இயல் எண்
f^{-k} = f^{-1})^k\, (k>0\,)

குறிப்பு: f -ன் மதிப்புகள் ஒரு வளையத்தில் அமையுமானால் n என்பது சார்புத் தொடர்தலை மட்டுமில்லாது f, -ன் n மடங்கினையும் குறிக்கலாம்:

f 2(x) = f(x) · f(x).

எடுத்துக்காட்டு:

sin2(x) = sin(x) · sin(x).

இங்கும் எதிரெண் அடுக்குகள், குறிப்பாக −1, மடங்கைக் குறிக்காமல் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கும்:

tan−1 = arctan (≠ 1/tan).

மாற்றுக் குறியீடுகள்[தொகு]

  • பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்கள் gf என்பதற்குப் பதில் தொகுப்புக் குறி சிறுவட்டத்தை விட்டுவிட்டு gf எனக் குறிக்கின்றனர்.
  • இருபதாம் நூற்றாண்டின் இடைக்காலத்தில் சில கணிதவியலாளர்கள், முதலில் சார்பு f ஐயும் அடுத்து சார்பு g -ஐயும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைச் சொல்வதற்கு "gf" எனக் குறித்தல் குழப்பத்தை ஏற்படுத்துகிறது என எண்ணி குறியீட்டை மாற்றுவதற்கு முற்பட்டனர். அவர்கள் "f(x)" என்பதற்குப் பதிலாக "xf"எனவும் மற்றும் "g(f(x))" என்பதற்குப் பதிலாக "(xf)g" எனவும் பயன்படுத்தினர்.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=சார்புகளின்_தொகுப்பு&oldid=1542707" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது