நேர்மாறுச் சார்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
சார்பு ƒ மற்றும் அதன் நேர்மாறு ƒ–1. ƒ, a -ஐ 3 -ஆக மாற்றுகிறது. அதன் நேர்மாறு ƒ–1, மறுபடி 3 -ஐ a -ஆக மாற்றுகிறது.

கணிதத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு (inverse function) என்பது ஒரு சார்பினால் ஏற்படக்கூடிய விளைவை இல்லாமல் செய்யக்கூடிய விளைவுடைய மற்றதொரு சார்பாகும். x எனும் உள்ளீட்டின் ƒ சார்புக்குரிய வெளியீடு y எனில் நேர்மாறுச் சார்பு g ஆனது y -ஐ உள்ளிடாகவும் x -ஐ வெளியீடாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது:

ƒ(x)=y எனில், g(y)=x.

இரண்டையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து ஒரே குறியீட்டில் g(ƒ(x))=x எனக் குறிக்கலாம். சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி, g(x) சார்பை ƒ(x) சார்புடன் சேர்க்கக் கிடைக்கும் இப்புதுச் சார்பு மாறி x -ஐ எந்தவொரு மாற்றமுமின்றி அப்படியேத் திருப்பித் தருகின்றது.

ஒரு சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு இருந்தால் அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்பு எனப்படும். நேர்மாற்ற்றத்தக்க சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகள் தனித்தன்மை உடையவை. அதாவது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்புக்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்புதான் உண்டு. ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு: ƒ−1 (வாசிக்க: f -ன் நேர்மாறு. இக்குறியீட்டைத் தவறாக ƒ -ன் அடுக்கு -1 என எடுத்துக்கொள்ளக் கூடாது.)

வரையறை[தொகு]

ƒ சார்பு X கணத்தை Y கணமாக மாற்றினால் ƒ–1 மறுபடியும் Y கணத்தை X கணமாக மாற்றுகிறது.

ƒ சார்பின் ஆட்களம் X, வீச்சு Y எனில்:

Y -ஐ ஆட்களமாகவும் X -ஐ வீச்சாகவும் கொண்டு,
f(x) = y\,\,\text{if and only if}\,\,g(y) = x\text{.}\,\!
என்பதையும் நிறைவு செய்யும் ஒரு தனித்த சார்பு g இருக்குமானால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். g சார்பு, ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு என அழைக்கப்படும். மேலும் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு ƒ−1.

ஒரு சார்பின் நேர்மாறுத் தொடர்பு அச்சார்பின் வீச்சு Y -ன் மீது ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். அப்பொழுது அந்த நேர்மாறுத் தொடர்பே சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

அனைத்து சார்புகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகள் இருக்காது. ஒரு சார்பின் வீச்சிலிலுள்ள ஒவ்வொரு y ∈ Y -ம் ஆட்களத்தின் ஒரேயொரு உறுப்புக்கு மட்டும் (x ∈ X) எதிருருறுப்பாக இருந்தால்தான் அச்சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. இப்பண்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று பண்பு எனவும் இப்பண்புடைய சார்புகள் உள்ளிடு சார்புகள் எனவும் அழைக்கப்படும்.

நேர்மாறுச் சார்புகளை உருவாக்கும் நேர்மாறுச் செயல்கள்-எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

  • நேர் மாறல்(direct variation) சார்பு  :

 y = kx.

இச்சார்பில் அமைந்துள்ள கணிதச் செயல் பெருக்கல். பெருக்கல் செயலுக்கு எதிர் கணிதச் செயல் வகுத்தல். பெருக்கலுக்குப் பதில் வகுத்தலைப் பயன்படுத்த இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக எதிர் மாறல் சார்பு கிடைக்கின்றது.

எதிர்மாறல் (inverse variation) சார்பு:

 y = kx.

வர்க்கச் சார்பும் வர்க்கமூலச் சார்பும்[தொகு]

வர்க்கச் சார்பு:

 f(x) = x^2

வர்க்கச் சார்பின் ஆட்களத்தைப் பொறுத்து அது நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். அதாவது வர்க்கமூலச் சார்பு அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.

ஆட்களம் மெய்யெண் கணமாக இருந்தால் வீச்சிலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு முன்னுருக்கள் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.( எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் -5 இரண்டின் வர்க்கமும் 25 தான்.) எனவே நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.

ஆட்களம் எதிரெணில்லா மெய்யெண்களின் கணமாக இருந்தால் வர்க்கச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வர்க்கமூலச் சார்பு அமையும்.

நேர்மாறுச் சார்புகளும் சார்புகளின் தொகுப்பும்[தொகு]

ƒ ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க சார்பு மற்றும் அதன் ஆட்களம் X, வீச்சு Y எனில்:

 f^{-1}\left( \, f(x) \, \right) = x, \forall x \in X\text{.}

சார்புகளின் தொகுப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

 f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,}

இதில் idX என்பது X; கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு.

குறியீடு-குறிப்பு[தொகு]

ƒ−1(x), ƒ(x)−1 இரண்டும் ஒன்றல்ல. ƒ−1(x) -லுள்ள "−1" அடுக்கைக் குறிக்காது. நேர்மாறுச் சார்பைப் போலவே தொடரும் சார்புகளும் (iterated function) குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ƒ2 என்பது சார்பு ƒ -ஐ இருமுறைத் தொடர்ந்து செயல்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

ƒ(x) = x2 − 1 எனில்:

ƒ2(x) = ƒ(ƒ(x)) = ƒ(x2 − 1) = (x2 − 1)2 − 1 = x4 − 2x2.

குறியீட்டில் இத்தொடர் செயல்முறையை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்:

f^2(x) = f(f(x)) = (f \circ f)(x).

நுண்கணிதத்தில், ƒ(n) என்பது ƒ சார்பின் n -ம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,

f^{(2)}(x) = \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x).

முக்கோணவியலில் sin2 x என்பது வழக்கமாக sin x -ன் வர்க்கத்தைக் குறிக்கம்:

 \sin^2 x = (\sin x)^2. \,\!

எனினும் sin−1 x என்பது sin x -ன் பெருக்கல் தலைகீழியைக் குறிப்பதில்லை, மாறாக சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெயர்களுக்கு முன் "arc" என்ற முன்னொட்டைச் சேர்த்து எழுதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பானது sin−1 x என்பதற்குப் பதில் arcsin எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

\sin^{-1} x = \arcsin x. \,\!

(sin x)–1 என்ற சைன் சார்பின் பெருக்கல் தலைகீழி csc x:

 \csc x = (\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}. \,\!

பண்புகள்[தொகு]

தனித்தன்மை[தொகு]

ஒரு சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதற்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்பு மட்டுமே இருக்கும். அதாவது ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு தனித்தன்மையுடையது. மேலும் அச்சார்பின் நேர்மாறுத் தொடர்பே அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக அமையும்.

சமச்சீர்[தொகு]

ஒரு சார்பும் அதன் நேர்மாறு சார்புக்கும் இடையே ஒரு சமச்சீர்த்தன்மை உள்ளது.

ஆட்களம் X மற்றும் வீச்சு Y கொண்ட சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் ஆட்களம் Y கணமாகவும் வீச்சு X கணமாகவும் இருக்கும். மேலும் ƒ−1 -ன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ ஆக இருக்கும்.

ƒ சார்பின் ஆட்களம் X மற்றும் வீச்சு Y. g சார்பின் ஆட்களம் Y மற்றும் வீச்சு X எனில்:

g \circ f = \mathrm{id}_X எனில்
f \circ g = \mathrm{id}_Y ஆகும்.

ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் நேர்மாறு இரண்டுக்குமுள்ள சமச்சீர்ப் பண்பினைப் பின்வருமாறு தரலாம்:

\left(f^{-1}\right)^{-1} = f . \,\!
g o ƒ -ன் நேர்மாறு ƒ–1 o g–1.

இரு சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு:

(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}

இதில் g மற்றும் f -ன் வரிசை மாறுகிறது. f -ஐ தொடர்ந்த g -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்குவதற்கு, முதலில் g -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்கிப் பின் f -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

f(x) = 3x
g(x) = x + 5.

சேர்ப்பு சார்பு g o f என்பது முதலில் மூன்றால் பெருக்கிப் பின் ஐந்தைக் கூட்டும் விளைவை ஏற்படுத்தும் சார்பு.:

(g \circ f)(x) = 3x + 5

இவ்விளைவை இல்லாமல் செய்வதற்கு முதலில் ஐந்தைக் கழித்துப் பின் மூன்றால் வகுக்க வேண்டும்:

(g \circ f)^{-1}(y) = \tfrac13(y - 5)

இது (f–1 o g–1) (y) என்ற சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சமமாக உள்ளது.

சுய நேர்மாறு[தொகு]

X என்ற கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்:

\mathrm{id}_X^{-1} = \mathrm{id}_X

பொதுவாக சார்பு ƒ: XX -க்கு:

ƒ o ƒ = idX

என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ƒ தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.

நுண்கணிதத்தில் நேர்மாறுச் சார்புகள்[தொகு]

ஒரு-மாறி நுண்கணிதத்தில் மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகள்தான் முக்கியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. அச்சார்புகள் பெரும்பாலும் கீழ்க்காண்பது போன்ற வாய்ப்பாடுகளால் தரப்படுகின்றன:

f(x) = (2x + 8)^3 . \,\!

சில முக்கிய சார்புகளும் அவற்றின் நேர்மாறுச் சார்புகளும் கொண்ட அட்டவணை:

சார்பு ƒ(x) நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1(y) குறிப்புகள்
x + a ya
ax ay
mx y / m m ≠ 0
1 / x 1 / y x, y ≠ 0
x2 \sqrt{y} x, y ≥ 0 மட்டும்
x3 \sqrt[3]{y} x மற்றும் y மீது கட்டுப்பாடு இல்லை
xp y1/p (i.e. \sqrt[p]{y}) பொதுவாக x, y ≥ 0 , p ≠ 0
ex ln y y > 0
ax loga y y > 0 and a > 0
முக்கோணவியல் சார்புகள் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் கட்டுப்பாடுகள்,கீழே தரப்பட்டுள்ள அட்டவணைப்படி*
சார்பு வழக்கமான முதன்மை மதிப்பின் வீச்சு
sin−1 π2 ≤ sin−1(x) ≤ π2
cos−1 0 ≤ cos−1(x) ≤ π
tan−1 π2 < tan−1(x) < π2
cot−1 0 < cot−1(x) < π
sec−1 0 ≤ sec−1(x) ≤ π
csc−1 π2 ≤ csc−1(x) ≤ π2


நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு[தொகு]

y = ƒ(x) என்ற சார்பின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து x -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்தால் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

f(x) = (2x + 8)^3 \,\!
\begin{align}
      y         & = (2x+8)^3 \\
  \sqrt[3]{y}   & = 2x + 8   \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x       \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .
\end{align}

நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வாய்ப்பாடு:

f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!

சிலசமயங்களில் நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட வாய்ப்பாடாக அமையாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

f(x) = x - \sin x , \,\!

இச்சார்பு ƒ, ஒன்றுக்கு-ஒன்றுச் சார்பாக இருப்பதால் இதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. அந்நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

 f^{-1}(y) =
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
 {\frac{y^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{ \theta \to 0} \left(
 \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \left(
 \frac{ \theta }{ \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta )} } ^n \right)
\right)

நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடம்[தொகு]

y = ƒ(x) and y = ƒ–1(x) சார்புகளின் வரைபடம். இடையிட்டக் கோடு: y = x.
 y = f(x) எனும் ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வரைபடம் x = f(y) எனும் சமன்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கும்.

இச்சமன்பாடு மற்றும் ƒ சார்பின் சமன்பாடு y = ƒ(x) என்பதில் x மற்றும் y இரண்டையும் பரிமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கக்கூடியது என்பதால் ƒ சார்பின் வரைபடத்தில் x மற்றும் y, அச்சுகளை பரிமாற்றம் செய்தால் ƒ−1 -ன் வரைபடம் கிடைக்கும். இவ்வாறு அச்சுகளைப் பரிமாற்றுதல் y = x கோட்டில் பிரதிபலிப்பதற்குச் சமம்.

நேர்மாறுச் சார்புகளும் வகையீடுகளும்[தொகு]

ஒருதொடர்ச்சியான சார்பு ƒ திட்டமாக ஏறும் அல்லது இறங்கும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

f(x) = x^3 + x\,\! இச்சார்பின் வகைக்கெழு:
f \prime (x) = 3x^2 + 1\,\! இவ்வாகைக்கெழுவின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மதிப்பாகத்தான் இருக்கும் என்பதால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும்.

சார்பு ƒ வகையிடத்தக்கது எனில், ƒ′(x) ≠ 0 என இருக்கும்வரை அதன் நேர்மாறு வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு:

\left(f^{-1}\right)^\prime (y)  = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)} .

x = ƒ–1(y) எனக் கொண்டால் மேற்காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx} .

நடைமுறை வாழ்க்கையில் காணப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • ƒ என்பது வெப்ப அளவையின் அலகை செலியசிலிருந்து பாரன்ஹீட்டுக்கு மாற்றும் சார்பு எனில்:
 f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு வெப்ப அளவையின் அலகை பாரன்ஹீட்டிலிருந்து செலியசுக்கு மாற்றுகிறது:

 f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) , \,\!
 f^{-1}\left( \, f(C) \, \right) = f^{-1}\left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) = \tfrac59 \left( \left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) - 32 \right) =  C\text{, for every }C\text{.}
  • ƒ என்பது ஒரு குடும்பத்திலுள்ள ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் அதன் பிறந்த ஆண்டினைத் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு சார்பு எனில் அச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டில் எந்தக் குழந்தை பிறந்தது என்ற தொடர்பைத் தரும் சார்பு.

ஆனால் அக்குடும்பத்தில் இரட்டைக் குழந்தகள் பிறந்திருந்தால் ƒ சார்பு இரு குழந்தைகளை ஒரே ஆண்டுடன் தொடர்பு படுத்தும். அப்போது இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இராது. அதனால் அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு அமையாது.

அதேபோல அக்குடும்பத்தில் குழந்தைகள் பிறக்காத ஆண்டுகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் அதனை ஒரு குழந்தையுடன் தொடர்பு படுத்தும் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்காது என்பதால் இந்நிலையிலும் ƒ -க்கு நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.

எனவே ஒவ்வொரு குழந்தையும் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் பிறந்திருந்து அந்த ஆண்டுகளை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

  •  f(\text{mathivathani}) = 2005,  f^{-1}(2005) = \text{mathivathani}
  •  f(\text{poonkuzali}) = 2007,  f^{-1}(2007) = \text{poonkuzali}
  •  f(\text{yaazhini}) = 2009,  f^{-1}(2009) = \text{yaazhini}

பொதுமைப்படுத்தல்[தொகு]

பகுதி நேர்மாறுச் சார்புகள்[தொகு]

ƒ(x) = x2 -ன் பகுதி நேர்மாறுச் சார்பு x -ன் வர்க்கமூலம் காணும் சார்பு.

சார்பு ƒ ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இல்லாமல் இருந்தால் கூட அதன் ஆட்களத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் அதற்கு ஒரு பகுதி நேர்மாறுச் சார்பை வரையறுக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு:

f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
f(x) = x^2\,\!
\pm x\in\Bbb{R}, இரண்டின் வர்க்கமும் ஒரே எண் என்பதால் இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு அல்ல. ஆனால் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை x ≥ 0 எனக் கட்டுப்படுத்தினால் (:f\colon \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R} என வரையறுத்தால்) ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாகிவிடும். அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பும் இருக்கும்.
f^{-1}(y) = \sqrt{y} .

இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுச் சார்புகள்[தொகு]

  • ƒ: XY சார்பின் இடது நேர்மாறுச் சார்பு g : YX என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:
g \circ f = \mathrm{id}_X . \,\!

அதாவது சார்பு g கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.

f(x) = y எனில்
g(y) = g(f(x)) = x.

ƒ சார்பின் வீச்சின் மீது நேர்மாறுச் சார்பு f-1 ஆகவும் வீச்சிலில்லாத Y கணத்தின் உறுப்புகளுக்கு வேறு விதமாகவும் சார்பு g அமைகிறது. சார்பு ƒ ஒரு உள்ளிடு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு இடது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

  • ƒ: XY சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு h : YX என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:
f \circ h = \mathrm{id}_Y . \,\!

அதாவது சார்பு g கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.

h(y) = x எனில்
f(x) = f(h(y)) = x.

சார்பு ƒ ஒரு முழுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு வலது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

ஒரு சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு இடது நேர்மாறாகவும் வலது நேர்மாறு இடது நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

f \colon \Bbb{R} \rightarrow [0,\infty)
f(x) = x^2, \forall x\in\Bbb{R}, மற்றும்
g \colon [0,\infty) \rightarrow \Bbb{R}
g(x) = \sqrt{x}, x≥0 எனில்:
f(g(x)) = x, \forall x\in [0,\infty),

அதாவது ƒ -ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பு g . ஆனால் அது ƒ -ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பு அல்ல. ஏனெனில் :g(f(-1)) = 1 \not = -1.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=நேர்மாறுச்_சார்பு&oldid=1608212" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது