வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில், இணை இயத்தல் (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை வரிசைமாற்றக்குலத்தில் (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.

பொருளடக்கம்

1 இணையியம்
2 அவதானக் குறிப்பு
3 வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள்
4 இணையியமும் சுழலமைப்பும்

[தொகு] இணையியம்

G ஒரு குலம் என்று கொள்க. $b \in G, a \in G$ இனுடைய இணையியம் (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:

ஏதாவதொரு $g \in G$ க்கு,

b = g a g - 1

.

எளிதாகவே இணையியத்தல் ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.

$a$ என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால், $a$ இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,

$a$ இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = $\{gag^{-1} : g \in G\}$ . இதற்குக்குறியீடு: $C l (a).$

[தொகு] அவதானக் குறிப்பு

இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு $b = g a g - 1$ ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:

'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் $g a g - 1$ .

[தொகு] வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள்

$S 3$ ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு $(b)(c a),$ உறுப்பு $(a)(b c)$ இன் இணையியம். ஏனென்றால், $g = (c)(a b)$ என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,

((c)(a b))((a)(b c))((c)(a b)) - 1

=

((c)(a b))((a)(b c))((c)(a b));

=

((c)(a b))(a c b);

ஏனென்றால், $a \rightarrow b \rightarrow c, b\rightarrow a\rightarrow a, c \rightarrow c \rightarrow b.$

=

(b)(a c)

ஏனென்றால், $a \rightarrow c \rightarrow c, b\rightarrow a \rightarrow b, c \rightarrow b \rightarrow a.$

மறுபடியும், $S 3$ இல்,

C l ((c)(a b)) = {(c)(a b),(b)(a c),(a)(b c)}

C l (a b c) = {(a b c),(a c b)}

[தொகு] இணையியமும் சுழலமைப்பும்

தேற்றம்: $S n$ இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.

முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.

அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் $σ$ வையும் அதன் இணையியம் $τστ - 1$ ஐயும் பார்ப்போம்.

$τστ - 1$ = $\begin{pmatrix} i \\ \tau(i) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ \sigma(i) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tau(i) \\ i \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tau(i) \\ \tau\sigma(i) \end{pmatrix}$ இதன் சுழலமைப்பு $σ$ வின் சுழலமைப்புதான்.

மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ, $σ$ $σ *$ என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்: