குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம் (direct product of groups) என்பது குலக்கோட்பாட்டில் குலங்களுக்கிடையே நிகழும் ஒரு செயலி. G , H எனும் இரு குலங்களுக்கிடையே இச்செயலியைப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு புதுக் குலமாக (G × H) இருக்கும். கணங்களில் வரையறுக்கபட்டுள்ள கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் என்ற செயலிக்கு ஒத்தசெயலியாக இது குலங்களில் உள்ளது.

ஏபெல் குலங்களில் இப்பெருக்கம் சிலசமயங்களில் நேர்க் கூட்டல் (GH) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது . ஏபெல் குலங்களை வகைப்படுத்துவதில் நேர்க் கூட்டல் முக்கியப் பங்குவகிக்கிறது. முடிவுறு ஏபெல் குலங்களின் வரையறைப்படி, ஒவ்வொரு முடிவுறு ஏபெல் குலத்தையும் இரு சுழற் குலங்களின் நேர் கூட்டலாகக் காணமுடியும்.

வரையறை[தொகு]

தரப்பட்ட இரு குலங்கள் G, H எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் G × H பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

G \times H = \{ (g, h) : g \in G , h \in H\}
(g1, h1) · (g2, h2)  =  (g1·g2, h1·h2) என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து G × H இல் குலங்களின் பண்புகள் நிறைவு செய்யப்படுவதால் அது ஒரு குலமாகிறது:
சேர்ப்பு விதி

G × H இல் வரையறுக்கப்பட்ட இந்த ஈருறுப்புச் செயலி சேர்ப்புத்தன்மை உடையது

முற்றொருமை உறுப்பு

இக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு (1G, 1H). இதில் 1G, G இன் முற்றொருமை உறுப்பு; 1H,  H இன் முற்றொருமை உறுப்பு.

நேர்மாறு உறுப்புகள்

G × H இன் உறுப்பு (g, h) இன் நேர்மாறு உறுப்பு:

(g−1, h−1),

இங்கு G இல் g இன் நேர்மாறு உறுப்பு g−1; H இல் h இன் நேர்மாறு உறுப்பு h−1

(g , h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1})

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (R,+) எனில் நேர்ப்பெருக்கம்:
 R \times R = \{ (x, y) : x, y \in R \}

இதன் உறுப்புகள் (x, y) திசையன்கள். திசையன் கூட்டலைப் பொறுத்து இது ஒரு குலமாகும்.

திசையன் கூட்டல்:

(x1, y1) + (x2, y2)  =  (x1+x2, y1+y2).
  • G, H என்பவை இரு உறுப்புகள் கொண்ட சுழற் குலங்கள்:
G
* 1 a
1 1 a
a a 1
H
* 1 b
1 1 b
b b 1
இவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் G × H, கிளைன் நான்குறுப்பு குலத்துடன் சமஅமைவியமுடையது:
G × H
* (1, 1) (a, 1) (1, b) (a, b)
(1, 1) (1, 1) (a, 1) (1, b) (a, b)
(a, 1) (a, 1) (1, 1) (a, b) (1, b)
(1, b) (1, b) (a, b) (1, 1) (a, 1)
(a, b) (a, b) (1, b) (a, 1) (1, 1)

அடிப்படைப் பண்புகள்[தொகு]

  • G × H குலத்தின் கிரமம் G மற்றும் H குலங்களின் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்:
| G × H |  =  | G | | H |.
| (g, h) |  =  lcm( | g |, | h | ).
குறிப்பாக | g |, | h | இரண்டும் சார்பகா எண்கள் (relatively prime) எனில் (g, h) இன் கிரமம், g மற்றும் h இன் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாகும்.
  • G , H இரண்டும் சார்பாகா எண்களைக் கிரமமாகக் கொண்ட சுழற் குலங்கள் எனில் G × H ம் ஒரு சுழற் குலமாக இருக்கும்.

m , n இரண்டும் சார்பகா எண்களெனில்

( Z / mZ ) × ( Z / nZ )    Z / mnZ.

பொதுமைப்படுத்தல்[தொகு]

இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தைக் காணமுடியும்.

தரப்பட்ட குலங்கள் G1, ..., Gn எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம்

\prod_{i=1}^n G_i \;=\; G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n

பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

  • G1 × ··· × Gn உறுப்புகள் (g1, ..., gn), giGi (ஒவ்வொரு i க்கும்) வடிவில் அமையும்.
  • G1 × ··· × Gn இல் வரையறுக்கப்படும் செயலி:
    (g1, ..., gn)(g1′, ..., gn′)  =  (g1g1′, ..., gngn′).

இரு குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தின் பல பண்புகள் இதற்கும் பொருந்தும். முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தையும் காணமுடியும்.

மேற்கோள்கள்[தொகு]