வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு

கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வீச்சு (Range) என்பது அச்சார்பின் எல்லா வெளியீடுகளின் கணமாகும். இதையே சார்பின் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. எதிருருவின் ஒருவித மறுதலை முன்னுரு. சரியான வரையறைகளைக் கீழே பார்க்கலாம்.

துல்லியமான வரையறை

$f\colon A\rightarrow B$ என்ற சார்பை நோக்குக.

$f$ வழியாக A யிலுள்ள ஒவ்வொரு $x$ க்கும் அதன் எதிருரு என்பது, $B$ இல் $f$ இனால் $x$ உடன் தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட (associated) ஒரு உறுப்பு. அது $f(x)$ என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும்.

$f(A) := \{ f(x) \mid x \in A\}$ என்ற கணத்திற்கு $f$ இன் வீச்சு என்று பெயர்.இதையே $f$ இன் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே $Im(f)$ என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில் $Im(f)$ என்ற குறியீடு $f$ இன் இணையாட்களத்தைக் குறித்தது.

$f$ இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது $R(f)$ என்ற குறியீடு. $R(f)$ ஐ $f$ இன் வழியாக $A$ இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு $Im_f[A]$. சூழ்நிலையிலிருந்து $f$ தெரிந்துகொள்ளப்படின், $Im[A]$ என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக $Im(A)$ என்று எழுதுவதும் உண்டு.

$f$ இன் இணையாட்களம் $B$ என்ற கணம்.

முன்னுரு

$f\colon A\rightarrow B$ என்று கொள்க.

எதிருருவே ஒரு கோப்பு

$Im(f$) என்பது $A$ இலுள்ள ஒவ்வொரு உட்கணம் $X$ ஐயும் $Im_f(X)= Y$ என்ற ($B$ இன்) ஒரு உட்கணத்திற்கு எடுத்துச்செல்கிறது. இதனால் $Im(f$) ஐ $A$ இனுடைய அடுக்குக்கணத்திலிருந்து (Power Set of A), $B$ இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பு அல்லது கோப்பாகக்கொள்ளலாம். குறியீடுகளில் சொன்னால்,

$Im(f)\colon 2^A \rightarrow 2^B$ : வரையறை: $(Im(f))(X) = Im_f(X)$

முன்னுருவின் வரையறை

ஒவ்வொரு $Y \subseteq B$ க்கும் அதனுடைய முன்னுரு (Pre-image or Inverse image) என்பது

f ⁻¹[Y] = {x ∈ A | f(x) ∈ Y}

என்று வரையறுக்கப்பட்ட (A இன்) உட்கணம்.

Y = {y} ஓர் ஓருறுப்புக்கணமாக இருக்குமானால் f ⁻¹[{y}], ஒரு நார் (fibre/fiber) எனப்படும்.

மேலும், குழப்பத்திற்கு வாய்ப்பு இல்லாவிட்டால்,, $f$ ⁻¹[Y] ஐ $f$  ⁻¹(Y) என்று எழுதி, f ⁻¹ ஐ $B$ இன் அடுக்குக்கணத்திலிருந்து $A$ இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளலாம். $f$ ⁻¹ ஐ நேர்மாறுச் சார்புடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. $f$ ஒரு இருவழிக் கோப்பாக இருந்தால் தான் இரண்டும் ஒன்றாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

சார்பு: h(x) = x². D = ஆட்களம் CD = இணையாட்களம்

• $f\colon$ R$\rightarrow$ R : $f(x) = x^2$

f இன் வீச்சு = R⁺ = $\{f(x) : 0\leq f(x)<\infty\}$ = [0, $\infty$)

{-2,3} இன் எதிருரு: f({-2,3}) = {4,9},

{4,9} இன் முன்னுரு : f ⁻¹({4,9}) = {-3,-2,2,3}.

• $g\colon$ R$\rightarrow$ R  : $g(x) = 2x$

g இன் வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே R தான்.

• $h\colon$ Z $\to$ Z : $h(x)\ := x^2$ (படிமம் பார்க்க)

இச்சார்புக்கு

$h(\{0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\$

$h(\{ -3, -2, -1, 0 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\$

$h(\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\$

$R(h) = \operatorname{im} h = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \}\$

• $f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d\}$. வரையறை:

$f(x) = \begin{cases} a &\text{x=1}\\ d &\text{x=2}\\ c &\text{x=3} \end{cases}$

$f$ வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :f({2,3}) = {d,c},

$f$ இன் வீச்சு :{ $a,d,c$}

{$a,c$} இன் முன்னுரு: f ⁻¹({a,c}) = {1,3}.

• f: R² → R : வரையறை:f(x, y) = x² + y².

f ⁻¹({a})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும்.

a > 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்;

a = 0 வாக இருக்குமானால். நார் வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்;

a < 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் வெற்றுக்கணங்களே.

விளைவுப் பண்புகள்

f: A → B ஒரு சார்பு என்றும் X , Y இரண்டும் A இன் உட்கணங்கள் என்றும் M , N இரண்டும் B இன் உட்கணங்கள் என்றும் கொண்டால்,

• $f(\varnothing) = \varnothing$
• $f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)$
• $f(X \cap Y) \subseteq f(X) \cap f(Y)$. இங்கு, $f$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், சமன்பாடு உண்மையாகும்.
• $X \subseteq Y \Rightarrow f(X) \subseteq f(Y)$
• $f$ ஒரு முழுக்கோப்பு $\Longleftrightarrow$ $\operatorname{im} f = B$.
• f ⁻¹(M ∪ N) = f ⁻¹(M) ∪ f ⁻¹(N)

• f ⁻¹(M ∩ N) = f ⁻¹(M) ∩ f ⁻¹(N)
• f(f ⁻¹(M)) ⊆ M
• f ⁻¹(f(X)) ⊇ X
• M ⊆ N $\Rightarrow$ f ⁻¹(M) ⊆ f ⁻¹(N)
• f ⁻¹(M^C) = (f ⁻¹(M))^C
• (f |_X)⁻¹(M) = X ∩ f ⁻¹(M).

இரண்டு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு இவற்றைப்பற்றிய மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

சார்பு

முழுக்கோப்பு

உள்ளிடுகோப்பு

இருவழிக்கோப்பு

ஆட்களம்

இணையாட்களம்