நேர்மாறு உறுப்பு

நுண்புல இயற்கணிதத்தில், நேர்மாறு உறுப்பு (inverse element) என்ற கருத்தானது, கூட்டல் செயலுக்குரிய எதிர்மறை உறுப்பு மற்றும் பெருக்கல் செயலுக்குரிய பெருக்கல் தலைகீழி உறுப்பு எனும் கருத்துருக்களின் பொதுமைப்படுத்தலாக அமைகிறது. நேர்மாறு உறுப்பின் துல்லியமான வரையறை, ஒவ்வொரு இயற்கணித அமைப்பிற்கும் ஒவ்வொரு விதமாக அமைந்தாலும் அவை அனைத்தும் குலத்தில் ஒன்றுபட்டு விடுகின்றன.

முறையான வரையறைகள்

யூனிட்டல் மேக்மாவில்

$*$ எனும் ஈருறுப்புச் செயலியைக் கொண்ட கணம் $S$ என்க. (அ-து) $S$ ஒரு மேக்மா.

$(S,*)$ ன் முற்றொருமை உறுப்பு $e$ என்க. (S ஒரு யூனிட்டல் மேக்மா (unital magma))

$a*b=e$ எனில்

$a$ ஆனது $b$ இடது நேர்மாறு என்றும் $b$ ஆனது $a$ ன் வலது நேர்மாறு என்றும் அழைக்கப்படும்.

$x$ , $y$க்கு இடது மற்றும் வலது நேர்மாறு இரண்டுமாக இருந்தால் அது $y$ ன் இருபக்க நேர்மாறு அல்லது சுருக்கமாக நேர்மாறு எனப்படும்.

கணம் $S$ ல் இருபக்க நேர்மாறுடைய ஒவ்வொரு உறுப்பும் $S$ ல் நேர்மாற்றக்கூடியது (invertible) எனப்படும்.

இடது நேர்மாறு மட்டும் கொண்ட உறுப்பு இடது நேர்மாற்றக்கூடியது எனவும் வலது நேர்மாறு மட்டும் கொண்ட உறுப்பு வலது நேர்மாற்றக்கூடியது எனவும் அழைக்கப்படும்.

S லுள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் நேர்மாற்றக்கூடியதெனில் S ஒரு கண்ணி (loop) எனப்படும்.

யூனிட்டல் மேக்மா, $(S,*)$ க்குப் பல இடது மற்றும் வலது நேர்மாறு உள்ளது போல எந்தவொரு உறுப்புக்கும் பல இடது மற்றும் வலது நேர்மாறு உறுப்புகள் இருக்கும். இந்த இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுகளின் வரையறைகளில் பயன்படுத்தப்படும் முற்றொருமை உறுப்பு இருபக்க நேர்மாறு கொண்டதாகும்.

$*$, ஒரு சேர்ப்பு ஈருறுப்புச் செயலியாக இருக்கும்போது ஒரு உறுப்பின் இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுகள் சமமாக இருக்கும். எனவே ஒற்றைக்குலத்தின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் அதிகபட்சமாக ஒரு நேர்மாறு உறுப்பு இருக்கும். ஒற்றைக்குலத்தில் உள்ள இருபக்க நேர்மாற்றக் கூடிய உறுப்புகளின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம், $S$ ன் அலகுகளின் குலம் (group of units) எனப்படும். இக்குலத்தின் குறியீடு, $U(S)$ அல்லது H₁ ஆகும்.

இடது நேர்மாற்றக்கூடிய உறுப்பு இடது நீக்கலுக்கும் வலது நேர்மாற்றக்கூடிய உறுப்பு வலது நீக்கலுக்கும் இருபக்க நேர்மாற்றக்கூடிய உறுப்பு இருபக்க நீக்கலுக்கும் உட்பட்டும்.

அரைக்குலத்தில்

முந்தைய பிரிவில் நேர்மாறு உறுப்புக்கு, முற்றொருமை உறுப்புடன் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட வரையறை தரப்பட்டுள்ளது. முற்றொருமை உறுப்பு இல்லாமல் சேர்ப்புப் பண்பினைப் பயன்படுத்தியும் நேர்மாறை வரையறுக்கலாம். அதாவது அரைக்குலத்திலும் வரையறுக்கலாம்.

ஒரு அரைக்குலம் $S$ ல் x என்ற உறுப்புக்கு, xzx = x; என்றவாறு z என்ற உறுப்பு $S$ ல் இருந்தால் x ஒழுங்கான உறுப்பு (regular element) எனப்படும். z சில சமயங்களில் போலி நேர்மாறு என அழைக்கப்படுகிறது.

xyx = x , y = yxy எனில் y , x ன் நேர்மாறு என அழைக்கப்படும். ஒவ்வொரு ஒழுங்கான உறுப்புக்கும் குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர்மாறு உண்டு.

x = xzx எனில், y = zxz என்றமையும் உறுப்பு இப்பிரிவில் தரப்பட்டுள்ள வரையறைப்படி x ன் நேர்மாறு ஆகும்.

எளிதாக நிறுவக்கூடிய மற்றுமொரு கூற்று:

y , x ன் நேர்மாறு எனில் e = xy மற்றும் f = yx என்றவாறு அமையும் e , f உறுப்புகள் இரண்டும் தன்னடுக்குகளாகும் (idempotents).

(அ-து) ee = e , ff = f ஆகும்.

ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாக அமையும் ஒவ்வொரு சோடி உறுப்புகளாலும் இரண்டு தன்னடுக்குகள் கிடைக்கின்றன.

மேலும் ex = xf = x, ye = fy = y ஆகும்.

e , x ன் இடது முற்றொருமையாகவும் f வலது முற்றொருமையாகவும் இருக்கின்றன. y க்கு f இடது முற்றொருமையாகவும் e வலது முற்றொருமையாகவும் அமைகின்றன. இக்கருத்தை கிரீன் தொடர்புகளைப் (Green's relations )பயன்படுத்திப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

இப்பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட தனித்தன்மை கொண்ட ஒரு நேர்மாறானது அரைக்குலக் கோட்பாட்டிற்கு வெளியே சில இடங்களில் பகுதி நேர்மாறு (quasi inverse) என அழைக்கப்படுகிறது. பெரும்பாலான பயன்பாடுகளில் சேர்ப்புப் பண்பு உள்ளதால் இந்தக் கருத்து பொதுவாக மெய்யாகிறது. எனவே முற்றொருமை மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக இது அமைகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

மெய்யெண்கள்

• ஒவ்வொரு மெய்யெண் $x$ க்கும் கூட்டல் நேர்மாறு உண்டு.

(அ-து) கூட்டலைப் பொறுத்து $x$ ன் நேர்மாறு $-x$.

• ஒவ்வொரு பூச்சியமில்லா மெய்யெண் $x$ க்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு உண்டு.

(அ-து) பெருக்கலைப் பொறுத்து $x$ ன் நேர்மாறு $\frac 1{x}$ (அல்லது $x^{-1}$).

• பூச்சியத்துக்குப் பெருக்கல் நேர்மாறு கிடையாது. ஆனால் அதற்கும் தனித்தன்மை உடைய ஒரு பகுதி நேர்மாறு (quasi-inverse) உண்டு.பூச்சியம் தனக்குத்தானே பகுதி நேர்மாறு ஆகும்.

சார்புகளும் பகுதிச்சார்புகளும்

சார்பு $f$ ன் ஆட்களத்தில் $g \circ f$ என்பது முற்றொருமை உறுப்பாக இருந்தால்,இருந்தால் மட்டுமே (if and only if) சார்பு $g$ ஆனது சார்புகளின் தொகுப்புச் செயலைப் பொறுத்து $f$ ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பாகும்.

அதேபோல் $g$ன் ஆட்களத்தில் ($f$ ன் [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களம்) $f \circ g$ என்பது முற்றொருமை உறுப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சார்பு $f$ ஆனது சார்புகளின் சேர்வைச் செயலைப் பொறுத்து $g$ ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பாகும்.

$f$ ன் நேர்மாறு பெரும்பாலும் $f^{-1}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

இருவழிச் சார்புகளுக்கு மட்டும்தான் இருபக்க நேர்மாறு உண்டு என்றாலும் எந்தவொரு சார்புக்கும் பகுதி நேர்மாறு உண்டு.

அணிகள்

களம் $K$ ல் உள்ள உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணி $M$ ன் அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாதிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அணி $M$ ஆனது ஒரேவரிசையுடைய சதுர அணிகளின் கணத்தில், அணிகளின் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்து நேர்மாற்றத் தக்கதாகும்.

பொதுவாக, பரிமாற்று வளையம் $R$ மீதான ஒரு சதுர அணியின் அணிக்கோவை $R$ ல் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சதுர அணியும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க முடியும்.

முழுத்தரம் (full rank) கொண்ட சதுரமில்லா அணிகள் ஒருபக்க நேர்மாறு கொண்டவை.

• For $A:m\times n \mid m>n$ என்ற அணீயின் இடது நேர்மாறு: $\underbrace{ (A^{T}A)^{-1}A^{T} }_{ A^{-1}_\text{left} } A = I_{n}$

• $A:m\times n \mid m<n$ என்ற அணியின் வலது நேர்மாறு: $A \underbrace{ A^{T}(AA^{T})^{-1} }_{ A^{-1}_\text{right} } = I_{m}$

முழுத்தரம் இல்லாத எல்லா அணிகளுக்கும் நேர்மாறு (ஒருபக்க நேர்மாறு கூட) கிடையாது. எனினும் மூர் பென்ரோசு போலி நேர்மாறு (Moore-Penrose pseudoinverse) அனைத்து அணிகளுக்கும் உண்டு. மேலும் ஒரு அணிக்கு இடது (வலது) பக்க நேர்மாறு அல்லது இருபக்க நேர்மாறு இருக்குமானால் அதனுடன் போலி நேர்மாறு ஒன்றுபடும்.

நேர்மாறு அணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

$A:2\times 3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
எனவே, m<n எனில், வலது நேர்மாறு உண்டு. $A^{-1}_{right} = A^{T}(AA^{T})^{-1}$
$AA^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 32\\ 32 & 77 \end{bmatrix}$
$(AA^{T})^{-1} = \begin{bmatrix} 14 & 32\\ 32 & 77 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{54} \begin{bmatrix} 77 & -32\\ -32 & 14 \end{bmatrix}$

$A^{T}(AA^{T})^{-1} = \frac{1}{54}\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 77 & -32\\ -32 & 14 \end{bmatrix} = \frac{1}{18} \begin{bmatrix} -17 & 8\\ -2 & 2\\ 13 & -4 \end{bmatrix} = A^{-1}_{right}$

இடது நேர்மாறு காண முடியாது. ஏனெனில், $A^{T}A = \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 22 & 27 \\ 22 & 29 & 36\\ 27 & 36 & 45 \end{bmatrix}$, என்பது வழுவுள்ள அணி ஆகும், எனவே நேர்மாற்றக்கூடியதல்ல.