தொடு பல்கோணம்

தொடு சரிவகம்

யூக்ளிடிய வடிவவியலில், தொடு பல்கோணம் (tangential polygon) என்பது அதன் எல்லாப் பக்கங்களையும் தொட்டவாறு அதனுள் அமைந்த ஒரு உள்வட்டத்தை உடைய ஒரு குவிவுப் பல்கோணம் ஆகும். ஒரு வட்டப் பல்கோணம் தொடு பல்கோணத்தின் இருமப் பல்கோணமாக இருக்கும். அதாவது, இருமப் பல்கோணத்தின் எல்லா உச்சிகளின் வழியாகவும் ஒரு வட்டம் செல்லும். தொடு பல்கோணமானது, சுற்று பல்கோணம் (circumscribed polygon) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

எல்லா முக்கோணங்களும் தொடு முக்கோணங்களாகும். தொடு பல்கோணங்களுள் மிகவும் அறியப்படுபவை தொடு நாற்கரங்களாகும். சாய்சதுரங்கள், பட்டங்கள் தொடு நாற்கர வகையைச் சேர்ந்தவை.

இயல்புகள்

ஒரு குவிவுப் பல்கோணத்தின் உட்கோண இருசமவெட்டிகள் எல்லாம் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகளாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அப்பல்கோணத்திற்கு உள்வட்டம் உண்டு. உட்கோண இருசமவெட்டிகள் சந்திக்கும் புள்ளி, உள்வட்டத்தின் மையமாக இருக்கும்.

$x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}$

என்ற சமன்பாட்டுத் தொகுதிக்கு நேர்ம மெய்யெண் தீர்வு (x₁, ..., x_n) ஒன்று "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" a₁, ..., a_n ஆகியவற்றை n பக்கங்களாகக் கொண்டு ஒரு தொடு பல்கோணம் இருக்க முடியும். அத்தகைய ஒரு தீர்வு இருக்குமானால் x₁, ..., x_n ஆகியவை தொடு பல்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் தொடுபுள்ளிக்கும் (உள்வட்டம் பல்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் புள்ளிகள்) இடைப்பட்ட தொடுகோட்டு நீளங்களாக இருக்கும்.

n ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்பட்சத்தில், மேலுள்ள இருத்தல் நிபந்தனைக்குட்பட்டு $a_{1},\dots ,a_{n}$ பக்க நீளங்கள் கொண்ட தொடு பல்கோணம் ஒன்றே ஒன்று மட்டுமே இருக்கும். ஆனால் n இரட்டை எண்ணாக இருந்தால் எண்ணற்ற தொடு பல்கோணங்கள் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு நாற்கரத்தில் நான்கு பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால் அது ஒரு சாய்சதுரமாகும். வெவ்வேறான குறுங்கோணக் கோணங்களுக்குக் கிடைக்கும் எல்லா சாய்சதுரங்களும் ஒரே உள்வட்டத்துக்குத் தொடு சாய்சதுரமாக அமையும்.

உள்வட்ட ஆரம்

ஒரு தொடு பல்கோணத்தின் n பக்கங்கள் a₁, ..., a_n எனில் அதன் உள்வட்டத்தின் ஆரம்:

$r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$

இதில்,

K = தொடு பல்கோணத்தின் பரப்பளவு

s = தொடு பல்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு.

எல்லா முக்கோணங்களும் தொடு முக்கோணங்களாக இருக்கும் என்பதால், மேலுள்ள உள்வட்ட ஆரத்தின் வாய்பாடு எல்லா முக்கோணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

பிற பண்புகள்

• தொடு பல்கோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்போது, அப் பல்கோணத்தின் எல்லாக் கோணங்களும் சமமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", அதன் பக்கங்களும் சமவளவுடையவையாக இருக்கும். தொடு பல்கோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்போது, அப் பல்கோணத்தின் ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சமமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", அதன் பக்கங்களும் சமவளவுடையவையாக இருக்கும்.
• தொடு பல்கோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை இரட்டை எண்ணாக இருந்தால், அதன் ஒற்றையெண் பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகை, இரட்டையெண் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.
• சம சுற்றளவும், சமவளவான உட்கோணங்களையும் கொண்ட பல்கோணங்களுக்குள், தொடு பல்கோணத்தின் பரப்பளவுதான் பெரியதாக இருக்கும்.
• தொடு பல்கோணத்தின் திணிவு மையம், உள்வட்டத்தின் மையம், தொடு பல்கோணத்தின் வரம்பு புள்ளிகளின் திணிவு மையம் ஆகிய மூன்றும் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைந்திருக்கும். மேலும் பல்கோணத்தின் திணிவுமையம் மற்ற இரண்டிற்கும் நடுவில் அமைவதோடு, வரம்பு திணிவு மையத்திலிருந்து அதன் தொலைவைப்போல் இரு மடங்கு தொலைவில் உள்வட்ட ஆரத்திலிருந்து அமைந்திருக்கும்.

தொடு முக்கோணம்

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணம்-நீலம். தொடு முக்கோணம்-சிவப்பு.

செங்கோண முக்கோணமல்லாத ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டத்திற்கு அம்முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிப் புள்ளிகளிலிருந்து வரையப்பட்ட தொடுகோடுகளை மூன்று பக்கங்களாகக் கொண்ட மற்றதொரு முக்கோணம், முதல் முக்கோணத்தின் தொடு முக்கோணம் (tangential triangle) ஆகும்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் குறுங்கோண உச்சிகளில் அதன் சுற்று வட்டத்தின் தொடுகோடுகள் இரண்டும் இணையாக இருக்குமாகையால் அவை இரண்டும் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக இருக்க முடியாது. எனவே ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்குத் தொடு முக்கோணம் கிடையாது. தொடு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் முதல் முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமும் ஒரே வட்டமாக இருக்கும்.

தொடு நாற்கரம்

தொடு நாற்கரமும் அதன் உள்வட்டமும்

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் அந்நாற்கரத்தின் உள்ளே அமையும் ஒரே வட்டத்தைத் தொட்டுக்கொண்டபடி இருக்குமானால் அந்நாற்கரம், தொடு நாற்கரம் என அழைக்கப்படும். அந்த வட்டம், உள்வட்டம் எனவும் அதன் மையம் உள்வட்ட மையம் எனவும் அழைக்கப்படும். தொடு நாற்கரங்கள் உள்வட்டத்தைச் சுற்றி அமைவதால், சூழ்தொடு நாற்கரங்கள், சுற்று நாற்கரங்கள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. தொடுநாற்கரங்கள், தொடு பல்கோணங்களின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்.