உள்ளடக்கத்துக்குச் செல்

அலகு (வளையக் கோட்பாடு)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.

இயற்கணிதத்தில் ஒரு வளையத்தின் அலகு (unit) அல்லது நேர்மாறுடைய அல்லது நேர்மாற்றத்தக்க உறுப்பு (invertible element) [a] என்பது வளையத்தின் பெருக்கற்செயலியைப் பொறுத்த நேர்மாறுடைய உறுப்பாகும். அதாவது, R என்ற வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு u ஆனது அவ்வளையத்தின் அலகாக இருக்க வேண்டுமானால் கீழ்வரும் முடிவை நிறைவுசெய்யுமாறு v என்ற ஒரு உறுப்பும் R இல் இருக்க வேண்டும்:

(1 என்பது பெருக்கல் செயலுக்குரிய முற்றொருமை உறுப்பு).

இப்பண்பை நிறைவு செய்யும் v ஆனது தனித்த உறுப்பாகும். அதாவது ஒவ்வொரு வளைய உறுப்பு u க்கும் இப்பண்பை நிறைவுசெய்யும் வகையில் ஒரேயொரு v தான் இருக்கும். மேலும் v ஆனது u இன் பெருக்கல் நேர்மாறு என அழைக்கப்படும்|.[1][2]

R வளையத்தின் அலகு உறுப்புகளைக் கொண்ட கணமானது, பெருக்கலைப் பொறுத்த குலமாக (R×) இருக்கும். இக்குலம் R வளையத்தின் அலகுகளின் குலம் அல்லது அலகு குலம் (group of units, unit group) எனப்படும்.[b] அலகு குலத்திற்கான மற்ற குறியீடுகள்: R, U(R), E(R) (E(R) என்பது செருமானிய வார்த்தை Einheit இலிருந்து பெறப்பட்டது).

"அலகுவுறுப்புள்ள வளையம்" அல்லது "அலகு வளையம்" அல்லது "அலகு அணி" போன்ற வெகுசில இடங்களில், "அலகு" என்பது 1 என்ற பெருக்கல் முற்றொருமை உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக, 1 ஆனது "பெருக்கலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு" என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பெருக்கல் முற்றொருமை இல்லாத வளையங்களிலிருந்து (ஆங்கிலக் குறியீடு:rng) வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காகவும் "அலகு உறுப்புள்ள வளையம்" அல்லது "முற்றொருமையுள்ள வளையம்" என்ற தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

rn = 1 எனில் rn−1 ஆனது r இன் பெருக்கல் நேர்மாறாகும்.

முழுவெண் வளையம்[தொகு]

முழு எண் வளையம் Z இல், 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டு மட்டுமே அலகுகளாகும்..

மாடுலோ n முழுஎண்கள் வளையத்தில் (Z/nZ), n உடன் சார்பாகா எண்களாகவுள்ள முழுவெண்களைக் கொண்ட முற்றிசைவுத் தொகுதிகள் அலகுகளாக இருக்கும். அவை மாடுலோ n முழுவெண்களின் பெருக்கல் குலமாக அமையும்.

எண் களத்தின் முழுவெண் வளையம்[தொகு]

Z உடன் இருபடி முழுவெண் 3 சேர்த்து வளையம் Z[3] பெறப்படுகிறது. இவ்வளையத்தில்:

(2 + 3)(2 − 3) = 1; எனவே 2 + 3 ஒரு அலகாகும்;
அத்துடன் அதன் அடுக்குகளும் அலகுகளாக இருக்குமென்பதால் Z[3] வளையத்திற்கு முடிவிலா அலகுகள் உள்ளன.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடுக்குத் தொடரும்[தொகு]

பரிமாற்று வளையம் R; அதன் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் (R[x]) அலகுகுகள் கீழுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கும்:

;
a0 ஆனது, R இன் அலகு;
பிற கெழுக்களுக்கான () கட்டுப்பாடு: N இன் சில மதிப்புகளுக்கு அதாவது அவை இன்ம அடுக்கானவை.[4]

குறிப்பாக R வளையமானது ஆட்களமாகவோ அல்லது குறைக்கப்பட்ட வளையமாகவோ இருந்தால், R[x] இன் அலகுகள், R இன் அலகுகளாக இருக்கும்.

அடுக்குத்தொடர் வளையத்தின் () அலகுகளாகக் கீழுள்ள அடுக்குத்தொடர்கள் இருக்கும்:

; a0, R இன் அலகு.[5]

அணிகளின் வளையங்கள்[தொகு]

R வளையத்தின் மீதான n × n சதுர அணிகளின் வளையம் Mn(R) இன் அலகு குலமானது (GLn(R)) நேர்மாற்றத்தக்க அணிகளின் குலமாகும். பரிமாற்று வளையம் R மீதான சதுர அணிகளின் வளையத்தின் (Mn(R)) ஒரு உறுப்பு A ஆனது, நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க வேண்டுமானால், A இன் அணிக்கோவையானது R இல் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே முடியும். அந்நிலையில் A இன் நேர்மாறு அணி A−1 ஐ வெளிப்படையாக A இன் சேர்ப்பு அணியின் வாயிலாக எழுதலாம்.

பொதுவானவை[தொகு]

R வளையத்தின் இரு உறுப்புகள் x, y எனில், நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் உம் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்; மேலும் இன் நேர்மாறு ஆகும்[6]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. வளையத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் கூட்டலைப் பொறுத்து நேர்மாற்றத்தக்கது என்பதால் இங்கு நேர்மாற்றத்தக்க உறுப்பு என்பது பெருக்கலைப் பொறுத்துக் குறிக்கும்.
  2. Tபிரஞ்சு கணிதவியலாளர் அன்ரெ வெய்ல் என்பாரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட R×, என்ற குறியீடு அலகு குலங்கள் அதிகமாக காணப்படும் எண் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.[3] மேலும் குலத்தின் செயலி பெருக்கல் என்பதையும் × குறியீடு காட்டுகிறது. மற்ற இடங்களில் மேலொட்டு '×' அதிகம் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை; மேலும் * என்ற மேலொட்டு, பெரும்பாலும் இருமத்தைக் சுட்டும்

சான்றுகள்[தொகு]

மூலங்கள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=அலகு_(வளையக்_கோட்பாடு)&oldid=3853844" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது