இருபடி முழுவெண்

எண் கோட்பாட்டில், இருபடி முழுவெண்கள் என்பது வழக்கமான முழுவெண்களை இருபடி களங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். இருபடி முழுவெண்கள், படி இரண்டுள்ள இயற்கணித முழு எண்களாகும். அதாவது பின்வரும் வடிவச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாக இருக்கும்:

x² + bx + c = 0

b, c இரண்டும் வழக்கமான முழு எண்கள். இயற்கணித முழுவெண்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, வழக்கமான முழுவெண்கள் பெரும்பாலும் விகிதமுறு முழுவெண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இருபடி முழுவெண்களின் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் விகிதமுறு முழுவெண்களின் வர்க்க மூலங்களான √2, மற்றும் காஸியன் முழுவெண்களை உருவாக்கும் சிக்கலெண் i = √−1 ஆகும். மற்றொரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு ஒன்றின் கன படிமூலங்களில் ஒன்றான −1 + √−3/2 ஆகும். இக் கனபடிமூலம் [[ஐசேன்ஸ்டைன் முழுவெண்]]களை உருவாக்குகிறது.

பெல்லின் சமன்பாடுகள் போன்ற [[டியோஃபன்டைனே சமன்பாடு]]களின் தீர்வுகளில் இருபடி முழுவெண்கள் இடம்பெறுகின்றன. இருபடி முழுவெண்களின் வளையங்களின் ஆய்வு இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் பல கேள்விகளுக்கு அடிப்படையாக அமைகிறது.

வரையறை

இருபடி முழுவெண் என்பது படி இரண்டுள்ள இயற்கணித முழுவெண் ஆகும். மேலும் இது:

x² + bx + c = 0 (b, c முழுவெண்கள்) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமைகின்ற $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}$ என்ற சிக்கலெண்ணாகும்.

முழுவெண்ணாக இல்லாத ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணும் விகிதமுறு எண்ணல்ல; அதாவது, b² − 4c > 0 என்றால் மெய் விகிதமுறா எண்ணாகவும், b² − 4c < 0 என்றால் அது மெய்யற்றதாகவும் இருக்கும். இத்தகைய இருபடி முழுவெண்கள் $\mathbb {Q}$ இன் நீட்டிப்பாக அமையும் இருபடிக் களம் $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ இல் அமைகின்றன. $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ ஆனது,முழு எண் e க்கு b² − 4c = De² என்பதை நிறைவுசெய்யும் தனித்துவமான வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண் D இன் வர்க்க மூலத்தால் பிறப்பிக்கப்படுகிறது. D நேரெண்ணாக இருந்தால் இருபடி முழுவெண் மெய்யெண்ணாகவும், D < 0 எனில், அது கற்பனையெண்ணாகவும் இருக்கும் (அதாவது சிக்கலெண், மெய்யற்றது).

$\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ என்ற இருபடி களத்தைச் சேர்ந்த இருபடி முழுவெண்கள் (சாதாரண முழுவெண்கள் உட்பட) "$\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ இன் முழுவெண்களின் வளையம்" என அழைக்கப்படும் முழு ஆட்களத்தை உருவாக்கும்.

தரப்பட்ட இருபடிக் களத்திற்குரிய இருபடி முழுவெண்கள் ஒரு வளையமாக இருக்கும். ஆனால், "அனைத்து" இருபடி முழுவெண்களின் கணமானது கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்கும் அடைவு பெறாததால் வளையமாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, $1+{\sqrt {2}},$ ${\sqrt {3}}$ இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள்; ஆனால் அவற்றின் கூட்டுதொகையான $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},$ பெருக்குத்தொகையான $(1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}$ இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள் இல்லை (அவற்றின் சிறுமப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி நான்காக இருப்பதால்).

வெளிப்படையான உருவகிப்பு

இங்கும் பின்வரும் பகுதிகளிலும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபடி முழுவெண்கள், $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ (D என்பது வர்க்கமற்றகாரணி முழுவெண்) என்ற இருபடிக் களத்தைச் சேர்ந்தவை. இவ்வாறு எடுத்துக்கொள்ளும்போது, √a²D = a √D $\implies \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,)$ (a ஏதேனுமொரு நேர்ம முழுவெண்) என்பதால் பொதுத்தன்மை கட்டுப்படுத்தப்படுவதில்லை.

$x=a+b{\sqrt {D}},$

அல்லது,

D − 1 = 4 இன் மடங்காக இருக்கும்போது

$x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},$ (a, b இரண்டும் ஒற்றை எண்கள்)

என்பதை நிறைவு செய்யும் இரு முழுவெண்கள் a, b "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" $x\in \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}$ ஆனது ஒரு இருபடி முழுவெண்ணாகும்.

மாற்றாக, ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணையும் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: :a + ωb , (a, b முழுவெண்கள்; ω இன் வரையறை: $\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}$)

குறிப்பு: D வர்க்கமற்ற காரணியாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதால் $D\equiv 0{\pmod {4}}$ ஆக இருக்காது. ஏனெனில் அவ்வாறு இருக்கும்பட்சத்தில D ஆனது வர்க்க எண் 4 ஆல் வகுபடும்; அதாவது வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண் அல்ல என்ற முரண்பாடு ஏற்படும்.

நெறிமமும் இணையியமும்

A quadratic integer in $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ இலுள்ள ஒரு இருபடி முழுவெண்ணைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

a + b√D (a, b இரண்டும் முழுவெண்கள் அல்லது D ≡ 1 (mod 4) எனும்போது மட்டும் இரண்டும் அரை-முழுவெண்கள்.

இத்தகைய இருபடிமுழுவெண்ணின் "நெறிமம்" (norm):

N (a + b√D ) = a² − Db².

ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம் எப்போதும் ஒரு முழுவெண்ணாகவே இருக்கும். D < 0 எனில், ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம், அதன் தனிமதிப்பின் வர்க்கமாக (சிக்கலெண்ணுக்குப் போலவே) இருக்கும். இது D > 0 எனில் இது உண்மையாகாது. இரண்டு இருபடி முழுவெண்களின் பெருக்குத்தொகையின் நெறிமமானது தனித்தனியே அவ்விரண்டின் நெறிமங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணுக்கும் ஒரு இணையெண் உண்டு.

a + b√D இன் "இணையெண்" (conjugate)

${\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.$

ஒரு இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் ஆகிய இரண்டின் நெறிமமும் சமம்; மேலும் இந்த நெறிமமானது இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையாகவும் இருக்கும். இரு இருபடி முழுவெண்களின் கூட்டுதொகையின் (பெருக்குத்தொகை) இணையெண் அவ்விரண்டின் இணையெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக (பெருக்குத்தொகை) இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg. Retrieved 5. August 2009
• Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.
• Artin, M, Algebra, 2nd ed., Ch 13.

மேலதிக வாசிப்புக்கு

• J.S. Milne. Algebraic Number Theory, Version 3.01, September 28, 2008. online lecture notes