காசிய முழுவெண்

எண் கோட்பாட்டில் காசிய முழுவெண் (Gaussian integer) என்பது, மெய், கற்பனைப் பகுதிகள் இரண்டையும் முழுவெண்களாகக் கொண்ட ஒரு சிக்கலெண் ஆகும். காசிய முழுவெண்கள் சாதாரணக் கூட்டல்,  பெருக்கல் செயல்களுடன் இணைந்து முழு வளையத்தை உருவாக்குகின்றன. இந்த வளையமானது $\mathbf {Z} [i]$ அல்லது $\mathbb {Z} [i].$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

காசிய முழுவெண்கள், முழுவெண்களின் பல பண்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. இவை யூக்ளிடிய வளையத்தை| உருவாக்குகின்றன. இதன் விளைவாக, காசிய முழு எண்கள் யூக்ளிடிய வகுத்தல், யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு, தனித்துவக் காரணிப்படுத்தல் ஆகியவற்றுடன் மேலும் பல தொடர்புள்ள பண்புகளையும் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும் இவற்றுக்கு எண்கணிதத்தின் முழு வரிசைப்படுத்தல் பண்பு கிடையாது.

காசிய முழுவெண்கள், இயற்கணித முழுவெண்களாகும். இவை இருபடி முழுவெண்களின் மிக எளிய வளையத்தை உருவாக்குகின்றன. இவ்வெண்கள் கணிதவியலாளர் கார்ல் பிரீடிரிக் காசின் பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன.

அடிப்படை வரையறைகள்

காசிய முழுவெண்கள் பின்வரும் சிக்கலெண்கள் [[கணம் (கணிதம்)|கணமாகும்:

$\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ where }}i^{2}=-1.$

அதாவது காசிய முழுவெண் என்பது, தனது மெய்ப்பகுதி, கற்பனைப் பகுதி இரண்டையும் முழுவெண்களாகக் கொண்டதொரு சிக்கலெண்ணாகும். காசிய முழுவெண்கள் கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்கும் அடைவு பெற்றதென்பதால், அவை ஒரு பரிமாற்று வளையமாக அமையும். இந்த வளையமானது, சிக்கலெண்கள் களத்தின் உள்வளையமாக இருக்கும். எனவே காசிய முழுவெண்கள் ஒரு முழுமை வளையமாகும்.

a + bi என்ற காசிய முழுவெண்ணின் இணையிய காசிய முழுவெண் a – bi ஆகும்.

ஒரு காசிய முழுவெண்ணின் "கள நெறிமம்" (field norm), அவ்வெண் மற்றும் அதன் இணையிய எண் ஆகியவற்றின் பெருக்கமாக இருக்கும். அதாவது a + bi இன் கள நெறிமம்:

$N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.$

ஒரு காசிய முழுவெண்ணின் கள நெறிமம் ($N$) அவ்வெண்ணின் தனி மதிப்பின் (சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பு) வர்க்கமாகும். இரு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருப்பதால் கள நெறிமத்தின் மதிப்பு எதிர்மமற்றது. மேலும் இரு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைத் தேற்றத்தின்படி கள நெறிமம் 4k + 3 (k ஒரு முழுவெண்) என்ற வடிவில் அமையாது.

z, w இரு காசிய முழுவெண்களெனில்,

$N(zw)=N(z)N(w),$

சிக்கலெண்களின் மட்டு மதிப்புகளின் பெருக்கற்பண்பைப் பயன்படுத்தி இம்முடிவை நிறுவலாம்.

காசிய முழுவெண்களின் வளையத்தின் அலகு உறுப்புகள் (பெருக்கல் நேர்மாறும் காசிய முழுவெண்களாகவேக் கொண்ட உறுப்புகள்) நெறிமம் "1" உள்ள காசிய முழுவெண்களாக இருக்கும் (அதாவது 1, –1, i and –i).

சான்றுகள்

Richard K. Guy (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ). இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். பக். 55–57. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-387-20860-2. https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr.