அரை-முழுவெண்

கணிதத்தில், அரை-முழுவெண் (half-integer) என்பது பின்வரும் வடிவிலமைந்த ஒரு எண்:

$$n+{\tfrac {1}{2}},$$

(இங்கு $n$ ஒரு பூச்சியமில்லா முழு எண்)

எடுத்துக்காட்டு:

$$4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8.5$$

ஒரு முழுவெண்ணை இரண்டால் வகுக்கக் கிடைப்பது எப்பொழுதும் அரை-முழுவெண்ணால இருப்பதில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்வது அவசியம். ஒற்றை முழுவெண்களை இரண்டால் வகுக்கும்போது மட்டுமே அரை-முழுவெண்கள் கிடைக்கும். இக்காரணத்தினால் சில சமயங்களில் அரை-முழுவெண்கள், "அரை-ஒற்றை முழுவெண்கள்" என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு முழுவெண்ணை இரண்டின் அடுக்குகளால் வகுக்கக் கிடைக்கும் எண்களின் (இருபடி விகிதமுறுஎண்) கணத்தின் உட்கணமாக அரை முழுவெண்கள் அமைகின்றன.

குறியீடும் இயற்கணித அமைப்பும்

அரை-முழுவெண்களின் கணக் குறியீடு:

$$\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.$$

முழுவெண்களும் அரை-முழுவெண்களும் சேர்ந்து கூட்டல் செயலியின்கீழ் ஒரு குலமாகும். இக்குலத்தின் குறியீடு:

$${\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.$$

எனினும் இவ்விரு எண்களும் வளையமாக இருக்காது. ஏனெனில் இரு அரை-முழுவெண்களின் பெருக்குத்தொகை மீண்டுமொரு அரை-முழுவெண்ணல்ல. எடுத்துக்காட்டாக $~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.$ இவ்வெண்களை உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வளையம், இருபடி விகிதமுறு எண்களின் வளையம் ($\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}\right]$) ஆகும்.

பண்புகள்

• $n$ ஒரு ஒற்றையெண்ணாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" $n$ அரை-முழுவெண்களின் கூட்டுத்தொகையும் ஒரு அரை-முழுவெண்ணாக இருக்கும்.$n=0$ உம் இதில் அடங்கும்.
• ஒரு அரை-முழுவெண்ணின் எதிரெண்ணும் ஒரு அரை-முழுவெண்ணாகும்.
• முழுவெண்கள் கணத்திலிருந்து அரை-முழுவெண்கள் கணத்திற்கு $f:x\to x+0.5$, ($x$ ஒரு முழுவெண்) என்ற இருவழிக்கோப்பு அமையுமென்பதால், அரை-முழுவெண்கள் கணத்தின் எண்ணளவை, முழுவெண்கள் கணத்தின் எண்ணளவைக்குச் சமமாகும்.

பயன்பாடு

தொடர் பெருக்கச் சார்பானது முழுவெண்கள் தருமதிப்புகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டாலும் அதனை காமா சார்பைப் பயன்படுத்திப் பின்னவடிவத் தருமதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். $R$ ஆரமுள்ள n-பரிமாணப் பந்தின் கனவளவின் வாய்பாட்டில் காமா சார்பு முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது:

$$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.$$

அரை-முழுவெண்களின் காமா சார்பானது, $\pi$ -இன் வர்க்கமூலத்தின் முழுவெண் மடங்குகளாக இருக்கும்:

$$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~$$

($n!!$ என்பது இரட்டைத் தொடர் பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது)