கூட்டல் முற்றொருமை

கணிதத்தில் ஓர் கணத்தில், கூட்டல் செயலியைப் பொறுத்த கூட்டல் முற்றொருமை (additive identity) என்பது அக்கணத்தின் எந்தவொரு உறுப்பு x உடனும் கூட்டப்படும் போது விடை மீண்டும் அதே x ஆக அமையும் ஓர் உறுப்பாகும். எல்லோரும் அறிந்த பூச்சியமானது எண்கணிதத்தில் அமைந்துள்ள கூட்டல் முற்றொருமை. கூட்டல் செயலி வரையறுக்கப்பட்டுள்ள குலம், வளையம் போன்ற பிற கணித அமைப்புகளிலும் கூட்டல் முற்றொருமைகள் உள்ளன. கூட்டல் முற்றொருமையானது கூட்டல் சமனி எனவும் அழைக்கப்படும்.

எளிய எடுத்துக்காட்டுகள்

• எண்கணிதத்தில் அமைந்த கூட்டல் முற்றொருமை 0

$5+0=5=0+5.$

• இயல் எண்கள், முழு எண்கள், விகிதமுறு எண்கள், மெய்யெண்கள் மற்றும் கலப்பெண்கள் ஆகிய அனைத்து எண் கணங்களிலும் கூட்டல் முற்றொருமையாக எண் 0 உள்ளது.

அதாவது n, இவ்வகையான எண்களில் ஏதாவது ஒன்றாக இருந்தால்:

$n+0=n=0+n.$

முறையான வரையறை

+ என்று குறிக்கப்படும் கூட்டல் செயலியைப் பொறுத்து அடைவு பெற்ற ஒரு கணம் N எனில், பின்வரும் முடிவை நிறைவு செய்யும் e இக்கணத்தின் கூட்டல் முற்றொருமை எனப்படும்.

$e+n=n=n+e.$ $\forall n\in {N},$

பிற எடுத்துகாட்டுகள்

• ஓர் குலத்தில் அக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பே அக்குலத்தின் கூட்டல் முற்றொருமையாகும். இது பெரும்பாலும் 0 எனக் குறிக்கப்படும்.
• ஓர் வளையமானது இரண்டு ஈருறுப்புச் செயலிகளைக் கொண்டிருக்கும். ஒன்று கூட்டல், மற்றது பெருக்கல். வளையத்தின் வரையறைப்படி, கூட்டலைப் பொறுத்து வளையமானது ஓர் குலமாக அமையும் என்பதால் அக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பே வளையத்தின் கூட்டல் முற்றொருமையாக இருக்கும். இதன் குறியீடு 0.

வளையத்தில் பெருக்கல் செயலியின் முற்றொருமை உறுப்பிலிருந்து (1) கூட்டல் முற்றொருமை வேறுபட்டது. ஓர் வளையத்தின் இரு செயல்களின் முற்றொருமை உறுப்புகளும் சமமாக இருந்தால் அவ்வளையம் மிகமிக எளிய (trivial) ஒன்றானதாகக் கருதப்படும்.

• வளையம் M_m×n(R) என்பது m x n அணிகளைக் கொண்டது மேலும் அவ்வணிகளின் உறுப்புகள் மெய்யெண்கள் எனில், அனைத்து உறுப்புகளையும் 0 எனக் கொண்ட m x n அணி இவ்வளையத்தின் கூட்டல் முற்றொருமையாகும். இதன் குறியீடு $0\,$.

எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண் உறுப்புகளைக் கொண்ட 2 x 2 அணிகளின் வளையத்தின் M₂(Z) கூட்டல் முற்றொருமை:

$0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

• $f\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ என அமையும் சார்புகளாலான வளையத்தில் ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணையும் 0 உடன் இணைக்கும் சார்பு, கூட்டல் முற்றொருமையாக அமையும்
• Rⁿ இல் அமையும் திசையன்களின் கூட்டல் செயல் கொண்ட குலத்தின் கூட்டல் நேர்மாறு பூச்சிய வெக்டர், ${\vec {0}}$ஆகும்.

மேற்கோள்கள்

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-43334-9.

வெளி இணைப்புகள்

• uniqueness of additive identity in a ring at PlanetMath.
• Margherita Barile, "Additive Identity", MathWorld.