உயர் பகு எண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

உயர் பகு எண் (highly composite number-HCN) என்பது தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர் முழுஎண்ணையும்விட அதிகமான வகுஎண்களைக் கொண்ட நேர் முழுஎண் ஆகும். இவ்வகையான எண்கள் முடிவிலா என்ணிக்கையில் உள்ளன என்ற உண்மை கணிதவியலாளர் இராமானுஜத்தால் (1915) கண்டறியப்பட்டது. அவற்றுக்கு உயர் பகுஎண்கள் என்ற இப் பெயரும் அவரால் அளிக்கப்பட்டதாகும். இவ்வெண்களுடன் தொடர்புடைய மற்றொரு வகையான எண், அதி பகு எண் (largely composite number) ஆகும். அதி பகுஎண் என்பது, தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர்முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைக்குக், குறைந்தபட்சம் சமமான எண்ணிக்கையில் வகுஎண்கள் கொண்ட நேர்முழு எண்.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

2 இன் வகு எண்கள் கணம்: =\{1, 2\}
3 இன் வகு எண்கள் கணம்:  = \{1, 3\}
4 இன் வகு எண்கள் கணம்:  = \{1, 2, 4\}
5 இன் வகு எண்கள் கணம்:  = \{1, 5\}
6 இன் வகு எண்கள் கணம்:  = \{1, 2, 3, 6\}
7 இன் வகு எண்கள் கணம்:  = \{1, 7\}
8 இன் வகு எண்கள் கணம்:  = \{1, 2, 4, 8\}
9 இன் வகு எண்கள் கணம்:  = \{1, 3, 9\}
10 இன் வகு எண்கள்:  =\{1, 2, 5, 10\}
11 இன் வகு எண்கள்:  =\{1, 11\}
12 இன் வகு எண்கள்:  =\{1, 2, 3, 4, 6, 12\} ......

மேலே தரப்பட்டுள்ள எண்களில்:

  • 2, 3, 4, 6, 12 ஆகியவை உயர் பகுஎண்கள்.
    • 5 உயர் பகுஎண் அல்ல, ஏனென்றால் 5 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 2, ஆனால் 5ஐ விடச் சிறிய எண்ணான 4 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 3ஆக உள்ளது.
    • 7 உயர் பகுஎண் அல்ல, ஏனென்றால் 7 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 2, ஆனால் 7ஐ விடச் சிறிய எண்ணான 4 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 3ஆகவும் உள்ளது மற்றும் 6இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 4ஆகவும் உள்ளது.
    • இதேபோல் 8, 9, 10, 11 ஆகியவையும் உயர் பகுஎண்கள் அல்ல.

பட்டியல்[தொகு]

முதல் 26 உயர் பகுஎண்கள் வலப்புறம் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன:

வரிசை n பகாஎண் காரணியாக்கம் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை
1 1 1
2 2 2 2
3 4 2^2 3
4 6 2\cdot 3 4
5 12 2^2\cdot 3 6
6 24 2^3\cdot 3 8
7 36 2^2\cdot 3^2 9
8 48 2^4\cdot 3 10
9 60 2^2\cdot 3\cdot 5 12
10 120 2^3\cdot 3\cdot 5 16
11 180 2^2\cdot 3^2\cdot 5 18
12 240 2^4\cdot 3\cdot 5 20
13 360 2^3\cdot 3^2\cdot 5 24
14 720 2^4\cdot 3^2\cdot 5 30
15 840 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7 32
16 1,260 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 36
17 1,680 2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7 40
18 2520 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 48
19 5,040 2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 60
20 7,560 2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7 64
21 10,080 2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 72
22 15,120 2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7 80
23 20,160 2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 84
24 25,200 2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7 90
25 27,720 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11 96
26 45,360 2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7 100

உயர் பகுஎண்களின் தொடர்முறையானது (OEISஇல் வரிசை A002182 ), n வகுஎண்களை மட்டும் கொண்ட, மிகச்சிறிய k எண்களின் தொடர்முறையின் (OEISஇல் வரிசை A005179 ) உட்கணமாக அமைகிறது.

உயர் பகுஎண்ணுக்கான கட்டுப்பாடுகள்[தொகு]

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட எண் n இன் பகாக் காரணியாக்கம் கீழே தரப்படுகிறது:

n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}\qquad (1)

இதில், p_1 < p_2 < \cdots < p_k பகாஎண்கள் மற்றும் அவற்றின் அடுக்குகள் c_i நேர் முழுஎண்கள்.

n இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை:

(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).\qquad (2)

இந் நிலையில் n ஒரு உயர்பகு எண் எனில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாகும்:

  • n இன் பகாக் காரணியாக்கத்திலுள்ள பகாக் காரணிகள் p_1, p_2, \cdots  p_k pi அனைத்தும் முதல் k பகா எண்களாக (2, 3, 5, ...) இருக்கவேண்டும்.
  • இப் பகாக் காரணிகளின் அடுக்குகள் கூடாத் தொடர்முறையாக அமைந்திருக்க வேண்டும். அதாவது:
c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k
  • n = 4 and n = 36 ஆகிய இரு மதிப்புகளைத் தவிர பிறவற்றில், கடைசி அடுக்கு ck  1 ஆக இருத்தல் அவசியம்.

பிற எண்களுடன் தொடர்பு[தொகு]

  • ஒரு உயர் பகுஎண்ணின் பகாக் காரணியாக்கத்தில் முதல் k பகாஎண்கள் அனைத்தும் காணப்படும் என்பதால் ஒவ்வொரு உயர் பகுஎண்ணும் கண்டிப்பாக நடைமுறை எண்ணாக (practical number) இருக்கும்.[1] (ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் கூடுதலாக அதனைவிடச் சிறிய அனைத்து நேர் முழுஎண்களை எழுதமுடியுமானால், அந்த எண் நடைமுறை எண் எனப்படும்)
  • 6ஐ விடப் பெரிய உயர் பகுஎண்கள், மிகைமை எண்களாகவும் இருக்கும். (ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் தகு வகுஎண்களின் கூடுதல் அந்த எண்ணைவிடப் பெரிய எண்ணாக இருந்தால் அது மிகைமை எண் எனப்படும்.)
  • பத்தடிமானத்தில் அனைத்து உயர் பகுஎண்களும் ஹர்ஷத் எண்கள் (Harshad number) என்னும் கூற்று உண்மையல்ல. ஹர்ஷத் எண்ணாக இல்லாத முதல் உயர் பகுஎண் 245,044,800 ஆகும். இதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 27, ஆனால் 245,044,800க்கு 27 வகுஎண் அல்ல. (ஹர்ஷத் எண் என்பது அதன் இலக்கங்களின் கூடுதலால் வகுபடும் நேர் முழுஎண்)

உயர் பகுஎண்களின் எண்ணிக்கை[தொகு]

உயர் பகுஎண் n இன் பகாக் காரணியாக்கம்:

n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}\qquad (1) (இதில், p_1 < p_2 < \cdots < p_k பகாஎண்கள் மற்றும் அவற்றின் அடுக்குகள் c_i நேர் முழுஎண்கள்.)

n இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையைத் தரும் வாய்ப்பாடு:

(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1)

x ஐ விடச் சிறிய அல்லது சமமான உயர் பகுஎண்களின் எண்ணிக்கை Q(x) எனில், பின்வரும் அசமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும் வகையில் 1ஐ விடப் பெரிய இரு மாறிலிகள் a , b உள்ளன:

\ln(x)^a \le Q(x) \le \ln(x)^b \, .

அசன்பாட்டின் முதற்பகுதி 1944 இல் ஹங்கேரிய கணிதவியலாளர் பால் எர்டுவாலும் (Paul Erdős), இரண்டாம்பகுதி 1988இல் ஜீன்-லூயிஸ் நிக்கோலசாலும் நிறுவப்பட்டது.

இந்த அசமன்பாட்டிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:

1.13862 < \liminf \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1.44 \ [2]
\limsup \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1.71 \ .

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

உயர் பகுஎண்: 10,080
10,080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3) ×  5  ×  7
மேலே தரப்பட்ட வாய்ப்பாட்டின்படி 10,080 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை = (5+1) x (2+1) x (1+1) x (1+1 = 72)
1
×
10,080
2
×
5,040
3
×
3,360
4
×
2,520
5
×
2,016
6
×
1,680
7
×
1,440
8
×
1,260
9
×
1,120
10
×
1,008
12
×
840
14
×
720
15
×
672
16
×
630
18
×
560
20
×
504
21
×
480
24
×
420
28
×
360
30
×
336
32
×
315
35
×
288
36
×
280
40
×
252
42
×
240
45
×
224
48
×
210
56
×
180
60
×
168
63
×
160
70
×
144
72
×
140
80
×
126
84
×
120
90
×
112
96
×
105
குறிப்பு:  தடித்த வடிவில் தரப்பட்டுள்ள எண்கள் உயர் பகு எண்களாக உள்ளன..

அதி பகு எண்கள்[தொகு]

அதி பகுஎண் என்பது, தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர்முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைக்குக், குறைந்தபட்சம் சமமான எண்ணிக்கையில் வகுஎண்கள் கொண்ட நேர்முழு எண் ஆகும்.

n ஒரு அதி பகுஎண் எனில்:

அனைத்து mnக்கும் d(n) ≥ d(m) என அமையும்.

அதி பகு எண்களின் எண்ணும் சார்பு QL(x), பின்வரும் அசமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும்:

(\log x)^c \le \log Q_L(x) \le (\log x)^d \

இதில் c,d நேர்மதிப்புகள் கொண்டவை; மேலும் 0.2 \le c \le d \le 0.5.[3][4]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Srinivasan, A. K. (1948), "Practical numbers", Current Science 17: 179–180, வார்ப்புரு:MathSciNet, http://www.ias.ac.in/jarch/currsci/17/179.pdf .
  2. Sándor et al (2006) p.45
  3. Sándor et al (2006) p.46
  4. Nicolas, Jean-Louis (1979). "Répartition des nombres largement composés" (in French). Acta Arith. 34: 379-390. 

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=உயர்_பகு_எண்&oldid=1757756" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது