உயர் பகு எண்

உயர் பகு எண் (highly composite number-HCN) என்பது தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர் முழுஎண்ணையும்விட அதிகமான வகுஎண்களைக் கொண்ட நேர் முழுஎண் ஆகும். இவ்வகையான எண்கள் முடிவிலா என்ணிக்கையில் உள்ளன என்ற உண்மை கணிதவியலாளர் இராமானுஜத்தால் (1915) கண்டறியப்பட்டது. அவற்றுக்கு உயர் பகுஎண்கள் என்ற இப் பெயரும் அவரால் அளிக்கப்பட்டதாகும். இவ்வெண்களுடன் தொடர்புடைய மற்றொரு வகையான எண், அதி பகு எண் (largely composite number) ஆகும். அதி பகுஎண் என்பது, தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர்முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைக்குக், குறைந்தபட்சம் சமமான எண்ணிக்கையில் வகுஎண்கள் கொண்ட நேர்முழு எண்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

2 இன் வகு எண்கள் கணம்: $=\{1,2\}$

3 இன் வகு எண்கள் கணம்: $=\{1,3\}$

4 இன் வகு எண்கள் கணம்: $=\{1,2,4\}$

5 இன் வகு எண்கள் கணம்: $=\{1,5\}$

6 இன் வகு எண்கள் கணம்: $=\{1,2,3,6\}$

7 இன் வகு எண்கள் கணம்: $=\{1,7\}$

8 இன் வகு எண்கள் கணம்: $=\{1,2,4,8\}$

9 இன் வகு எண்கள் கணம்: $=\{1,3,9\}$

10 இன் வகு எண்கள்: $=\{1,2,5,10\}$

11 இன் வகு எண்கள்: $=\{1,11\}$

12 இன் வகு எண்கள்: $=\{1,2,3,4,6,12\}$......

மேலே தரப்பட்டுள்ள எண்களில்:

• 2, 3, 4, 6, 12 ஆகியவை உயர் பகுஎண்கள்.
  • 5 உயர் பகுஎண் அல்ல, ஏனென்றால் 5 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 2, ஆனால் 5ஐ விடச் சிறிய எண்ணான 4 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 3ஆக உள்ளது.
  • 7 உயர் பகுஎண் அல்ல, ஏனென்றால் 7 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 2, ஆனால் 7ஐ விடச் சிறிய எண்ணான 4 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 3ஆகவும் உள்ளது மற்றும் 6இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை 4ஆகவும் உள்ளது.
  • இதேபோல் 8, 9, 10, 11 ஆகியவையும் உயர் பகுஎண்கள் அல்ல.

பட்டியல்

முதல் 26 உயர் பகுஎண்கள் வலப்புறம் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன:

வரிசை	$n$	பகாஎண் காரணியாக்கம்	வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை
1	1		1
2	2	$2$	2
3	4	$2^{2}$	3
4	6	$2\cdot 3$	4
5	12	$2^{2}\cdot 3$	6
6	24	$2^{3}\cdot 3$	8
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	9
8	48	$2^{4}\cdot 3$	10
9	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	12
10	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	16
11	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	18
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	20
13	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	24
14	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	30
15	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32
16	1,260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	36
17	1,680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40
18	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	48
19	5,040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	60
20	7,560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	64
21	10,080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	72
22	15,120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	80
23	20,160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	84
24	25,200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	90
25	27,720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96
26	45,360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	100

உயர் பகுஎண்களின் தொடர்முறையானது (OEIS-இல் வரிசை A002182) , n வகுஎண்களை மட்டும் கொண்ட, மிகச்சிறிய k எண்களின் தொடர்முறையின் (OEIS-இல் வரிசை A005179)

உட்கணமாக அமைகிறது.

உயர் பகுஎண்ணுக்கான கட்டுப்பாடுகள்

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட எண் n இன் பகாக் காரணியாக்கம் கீழே தரப்படுகிறது:

$n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)$

இதில், $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}$ பகாஎண்கள் மற்றும் அவற்றின் அடுக்குகள் $c_{i}$ நேர் முழுஎண்கள்.

n இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை:

$(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)$

இந் நிலையில் n ஒரு உயர்பகு எண் எனில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாகும்:

• n இன் பகாக் காரணியாக்கத்திலுள்ள பகாக் காரணிகள் $p_{1},p_{2},\cdots p_{k}$ p_i அனைத்தும் முதல் k பகா எண்களாக (2, 3, 5, ...) இருக்கவேண்டும்.
• இப் பகாக் காரணிகளின் அடுக்குகள் கூடாத் தொடர்முறையாக அமைந்திருக்க வேண்டும். அதாவது:

$c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}$

• n = 4 and n = 36 ஆகிய இரு மதிப்புகளைத் தவிர பிறவற்றில், கடைசி அடுக்கு c_k  1 ஆக இருத்தல் அவசியம்.

பிற எண்களுடன் தொடர்பு

• ஒரு உயர் பகுஎண்ணின் பகாக் காரணியாக்கத்தில் முதல் k பகாஎண்கள் அனைத்தும் காணப்படும் என்பதால் ஒவ்வொரு உயர் பகுஎண்ணும் கண்டிப்பாக நடைமுறை எண்ணாக (practical number) இருக்கும். (ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் கூடுதலாக அதனைவிடச் சிறிய அனைத்து நேர் முழுஎண்களை எழுதமுடியுமானால், அந்த எண் நடைமுறை எண் எனப்படும்)

• 6ஐ விடப் பெரிய உயர் பகுஎண்கள், மிகைமை எண்களாகவும் இருக்கும். (ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் தகு வகுஎண்களின் கூடுதல் அந்த எண்ணைவிடப் பெரிய எண்ணாக இருந்தால் அது மிகைமை எண் எனப்படும்.)
• பத்தடிமானத்தில் அனைத்து உயர் பகுஎண்களும் ஹர்ஷத் எண்கள் (Harshad number) என்னும் கூற்று உண்மையல்ல. ஹர்ஷத் எண்ணாக இல்லாத முதல் உயர் பகுஎண் 245,044,800 ஆகும். இதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 27, ஆனால் 245,044,800க்கு 27 வகுஎண் அல்ல. (ஹர்ஷத் எண் என்பது அதன் இலக்கங்களின் கூடுதலால் வகுபடும் நேர் முழுஎண்)

உயர் பகுஎண்களின் எண்ணிக்கை

உயர் பகுஎண் n இன் பகாக் காரணியாக்கம்:

$n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)$ (இதில், $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}$ பகாஎண்கள் மற்றும் அவற்றின் அடுக்குகள் $c_{i}$ நேர் முழுஎண்கள்.)

n இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையைத் தரும் வாய்ப்பாடு:

$(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1)$

x ஐ விடச் சிறிய அல்லது சமமான உயர் பகுஎண்களின் எண்ணிக்கை Q(x) எனில், பின்வரும் அசமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும் வகையில் 1ஐ விடப் பெரிய இரு மாறிலிகள் a , b உள்ளன:

$\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b}\,.$

அசன்பாட்டின் முதற்பகுதி 1944 இல் ஹங்கேரிய கணிதவியலாளர் பால் எர்டுவாலும் (Paul Erdős), இரண்டாம்பகுதி 1988இல் ஜீன்-லூயிஸ் நிக்கோலசாலும் நிறுவப்பட்டது.

இந்த அசமன்பாட்டிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:

$1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\$

$\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .$

எடுத்துக்காட்டுகள்

உயர் பகுஎண்: 10,080 10,080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3) ×  5  ×  7 மேலே தரப்பட்ட வாய்ப்பாட்டின்படி 10,080 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை = (5+1) x (2+1) x (1+1) x (1+1 = 72)
1 × 10,080	2 × 5,040	3 × 3,360	4 × 2,520	5 × 2,016	6 × 1,680
7 × 1,440	8 × 1,260	9 × 1,120	10 × 1,008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
குறிப்பு:  தடித்த வடிவில் தரப்பட்டுள்ள எண்கள் உயர் பகு எண்களாக உள்ளன..

அதி பகு எண்கள்

அதி பகுஎண் என்பது, தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர்முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைக்குக், குறைந்தபட்சம் சமமான எண்ணிக்கையில் வகுஎண்கள் கொண்ட நேர்முழு எண் ஆகும்.

n ஒரு அதி பகுஎண் எனில்:

அனைத்து m ≤ nக்கும் d(n) ≥ d(m) என அமையும்.

அதி பகு எண்களின் எண்ணும் சார்பு Q_L(x), பின்வரும் அசமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும்:

$(\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\$

இதில் c,d நேர்மதிப்புகள் கொண்டவை; மேலும் $0.2\leq c\leq d\leq 0.5$.

மேற்கோள்கள்

• Srinivasa Ramanujan (1915). "Highly composite numbers". Proc. London Math. Soc. (2) 14: 347-409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, தொகுப்பாசிரியர்கள் (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. பக். 45–46. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:1-4020-4215-9. 

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Highly Composite Number", MathWorld.
• Algorithm for computing Highly Composite Numbers
• First 10000 Highly Composite Numbers
• Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors
• Online Highly Composite Numbers Calculator