வகுஎண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணின்வகுஎண் அல்லது வகுத்தி (divisor) என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழுஎண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் 1 ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும். ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1 இன் வகுஎண்கள் = {1}
2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}
3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}
4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}
......
10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}

வரையறை[தொகு]

பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

  • m, n ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு,
mk = n.[1] என்றவாறு k என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்:
m ஆனது nஐ வகுக்கும் என்றும்;
n இன் வகுஎண் m என்றும்;
n ஆனது m இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.
இக்கூற்றின் குறியீடு:
m \mid n,

இந்த வரையறையின்படி 0 \mid 0 என்பது உண்மையாகும்.

  • மேற்காணும் வரையறையில், m \neq 0.[2] என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் 0 \mid 0 என்பது உண்மையாகாது.

பொதுவானவை[தொகு]

  • ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் நேர்முழுஎண்களாகவோ அல்லது எதிர்முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது நேர்வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டு:

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய நேர்வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.

  • 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
  • ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.[3]
  • ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.[4]
  • 1, −1, n , −n ஆகியவை n இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
  • ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் மிகஎளிய வகுஎண்ணற்ற ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த முழுஎண்பூச்சியமற்ற முழுஎண் பகு எண் எனப்படும்.
  • எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • 7 \times 6 = 42 என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, 7 \mid 42.

42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.

  • எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, −2, 3, −3.
  • 42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • 5 \times 0 = 0 என்பதால் 5 \mid 0.
  • எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:
A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}

மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்[தொகு]

சில அடிப்படை விதிகள்[தொகு]

  • a \mid b மற்றும் b \mid c எனில், a \mid c, அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
  • a \mid b மற்றும் b \mid a எனில், a = b அல்லது a = -b.
  • a \mid b மற்றும் a \mid c எனில்  a \mid (b + c) மற்றும்  a \mid (b - c).[5]

எனினும் a \mid b மற்றும் c \mid b எனில், (a + c) \mid b என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டு:

2\mid6 and 3 \mid 6 ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.
  • a \mid bc மற்றும் மீபொவ(a, b) = 1 எனில், a \mid c. இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.

தகு வகுஎண்கள்[தொகு]

  • n இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது n அல்லாத அதன் ஒரு நேர்வகுஎண் ஆகும். n ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் n இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
  • n > 1 மற்றும் n இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், n ஒரு பகாஎண்ணாகும். .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே பகாஎண்)

வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை[தொகு]

  •  n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} ஆனது n இன் பகாக் காரணியாக்கம்

எனில்,

n இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை (d(n)):
 d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1),
  • ஒவ்வொரு இயல் எண் n க்கும், d(n) < 2 \sqrt{n}.
  • n இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது m மற்றும் n இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:
d(mn)=d(m)\times d(n).
எடுத்துக்காட்டு:
d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7); (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது m மற்றும் n ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் d(mn)=d(m)\times d(n) என்பது உண்மையாகாது.

  • n இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு: \sigma (n)

எடுத்துக்காட்டு: \sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. for instance, Sims 1984, p. 42 or Durbin 1992, p. 61
  2. Herstein 1986, p. 26
  3. இக்கூற்றுக்கு 0|0 என்பதை உண்மையாகக் கொள்ளும் முதல்வரையறையை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அல்லது கூற்றினை பூச்சியமற்ற முழுஎண்களுக்கெனக் கொள்ள வேண்டும்
  4. இக்கூற்றுக்கு 0|0 என்பதை உண்மையாகக் கொள்ளும் முதல்வரையறையை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அல்லது கூற்றினை பூச்சியமற்ற முழுஎண்களுக்கெனக் கொள்ள வேண்டும்
  5. a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c). Similarly, a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)

மேற்கோள்கள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=வகுஎண்&oldid=1687676" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது