வென் படம்

A, B, மற்றும் C கணங்களின் வென் படம்

வென் படம் (Venn Diagram) என்பது முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட கணங்களுக்கு ஏற்படக்கூடிய தொடர்புகளைப் பற்றிய விளக்கப் படமாகும். 1880களில் பிரித்தானிய தர்க்கவாதியும் மெய்யியலாளருமான ஜான் வென், கணங்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகளைப் படங்களின் மூலம் விளக்கலாம் என்ற தனது கருத்திற்கு வடிவம் கொடுத்தார். வென்படங்கள், அடிப்படைக் கணக்கோட்பாட்டினைச் சொல்லித்தரவும், நிகழ்தகவு, தருக்கம், புள்ளியியல், மொழியியல், கணினியியல் ஆகிய துறைகளிலுள்ள எளிய கணங்களுக்கிடையேயுள்ள தொடர்புகளை விளக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அமைப்பு

இருகணங்களின் சேர்ப்பு:
$~A\cup B$

இருகணங்களின் வெட்டு:
$~A\cap B$

வென் படங்கள் ஒரு தளத்தில் வரையப்பட்ட மூடிய வளைவரைகளைக் கொண்டிருக்கும். அவ்வளைவரைகள் பொதுவாக ஒன்றின் மீது ஒன்று வெட்டிக்கொள்ளூம் வட்டங்களாக இருக்கும். வட்டத்தின் உட்பகுதி அதற்குரிய கணத்திலுள்ள உறுப்புகளையும், வெளிப்பகுதி அக்கணத்தில் இல்லாத உறுப்புகளையும் குறிக்கும்.

இரண்டு கணங்களைக் குறிக்குமொரு வென்படத்தில், ஒரு வட்டம் எல்லாவிதமான மரச்சாமான்களின் கணம், மற்றொன்று எல்லாவகையான மேசைகளின் கணம் என்றால் இரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான பரப்பு மரமேசைகளைக் குறிக்கும்.

வட்டங்கள் அல்லாத பிற வடிவங்களையும் பயன்படுத்தலாம். மூன்றுக்கு மேற்பட்ட கணங்களை வென் படத்தில் குறிப்பதற்கு அவ்வடிவங்கள் பயன்படும். வென் படங்கள் கருத்துரு திட்ட வரைபடங்களாகும். எனவே படத்திலிருந்து அதிலுள்ள கணங்களின் எண் அளவைகளைத் தெரிந்து கொள்ளமுடியாது

எடுத்துக்காட்டு

கணம் A (இருகால்களுடைய உயிரினங்கள்) மற்றும் கணம் B (பறக்கக்கூடிய உயிரினங்கள்)

வலதுபுறம் உள்ள படத்தில் A என்னும் கணம் ஆரஞ்சுநிறத்திலும், B என்னும் கணம் நீலநிறத்திலும் வட்டங்களால் குறிக்கப்பெற்றுளன. ஆரஞ்சு நிற வட்டம் இருகால்கள் கொண்ட உயிரினங்களையும் நீல நிற வட்டம் பறக்கக்கூடிய உயிரினங்களையும் குறிக்கின்றன என்று கொள்ளலாம். இந்த உயிரினங்களை அவற்றுக்குரிய வட்டங்களுக்குள்ளே இருக்கும் புள்ளிகளாகக் கொள்ளலாம்.

கிளிகள் இருகால்கள் கொண்டவை, அதே சமயம் பறக்கவும் செய்யும். எனவே கிளிகளைக் குறிக்கும் புள்ளிகள் இரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான பகுதியில் அமையும். பொதுப்பகுதி இந்த இருகுணங்களையும் கொண்ட உயிரினங்களை மட்டுமே குறிக்கும்.

மனிதர்களுக்கும் பென்குவின்களுக்கும் இருகால்கள் உண்டு ஆனால் பறக்க முடியாது. எனவே அவர்களுக்குரிய புள்ளிகள் ஆரஞ்சு வட்டத்தின் இடதுபுறத்தில், நீல வட்டத்தின் மேற்படியாத பகுதியில் அமையும்.

கொசுக்களுக்கு ஆறு கால்கள், ஆனால் அவை பறக்கும். எனவே அவற்றுக்குரிய புள்ளிகள் நீல வட்டத்தின் வலதுபுறத்தில், ஆரஞ்சு வட்டத்தின் மேற்படியாத பகுதியில் அமையும்.

இருகால்களில்லாத மற்றும் பறக்க முடியாத உயிரினங்களை (திமிங்கலம், சிலந்தி போன்றவை) இவ்விரு வட்டங்களுக்கும் வெளியில் உள்ள புள்ளிகள் குறிக்கும்.

இருவட்டங்களையும் உள்ளடக்கிய பரப்பு, A மற்றும் B கணங்களின் ஒன்றிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது. ஒன்றிப்பின் குறியீடு A ∪ B. இந்த இருகணங்களின் ஒன்றிப்பு என்பது, இவ்வெடுத்துக்காட்டில், இருகால்கள் கொண்ட உயிரினங்கள் அல்லது பறக்கும் உயிரினங்கள் அல்லது இந்த இருவிதமுமான உயிரினங்களைக் கொண்ட கணத்தைக் குறிக்கும்.

இருவட்டங்களுக்கும் பொதுவான பரப்பு A மற்றும் B கணங்களின் வெட்டு என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு A ∩ B. A,B -இன் வெட்டுகணம் என்பது இருகால்கள் கொண்டதும் மற்றும் பறக்கக்கூடியதுமான உயிரினங்களின் கணத்தைக் குறிக்கும்

நீட்டிப்பு

வென் படங்களில் மூன்று கணங்கள்வரை விளக்குவதற்கு வட்டங்கள் எளிதானது. ஆனால் அதற்கும் மேற்பட்ட கணங்களைக் குறிப்பதற்கு வட்டங்கள் போதாது. ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் நான்கு கோளங்கள், அனைத்து சமச்சீர்களையும் (symmetries) குறிக்கும் மிகப்பெரிய வென்படத்தை உருவாக்குவதற்குப் பயன்படுகிறது.

கணங்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாகும்போது அதற்கான மாற்றுத் தீர்வு காண்பது அவசியமாகிறது. அத்தீர்வு காண்பதில் தீவிரமாக ஈடுபட்டு நீள்வட்டங்களைக் கொண்டு நான்கு கணங்களுக்குப் படவிளக்கமளிக்கும் முறையைக் கண்டறிந்தார் வென். பின்னர் எத்தனை கணங்களானாலும் அவற்றின் வென்படங்களை வரையும் முறையையும் உருவாக்கினார். அந்த முறையில் மூன்று வட்டங்களில் ஆரம்பித்து அடுத்தடுத்து வரும் கணங்களைக் குறிப்பதற்கு வரையப்படும் வளைவரைகள் முந்தைய வளைவரைகளின் இடைப்பின்னல்களாக அமைகின்றன.

வென்னின் நான்கு கணங்களுக்கான அமைப்பு	வென்னின் ஐந்து கணங்களுக்கான அமைப்பு	வென்னின் ஆறு கணங்களுக்கான அமைப்பு
வென் நான்கு கணங்களுக்கு நீள்வட்டத்தைப் பயன்படுத்திய அமைப்பு	இச்சமச்சீர் படம் நான்கு கணங்களுக்கான வென் படமல்ல. ஏனென்றால் இதில் 13 பகுதிகளே உள்ளன. மஞ்சளும் நீலமும் மட்டுமே சேரும் பகுதியோ அல்லது பிங்க் அல்லது பச்சை மட்டுமே சேரும் பகுதியோ இல்லை.

எட்வர்ட்சின் வென் படங்கள்

மூன்று கணங்களுக்கான எட்வர்ட்சின் வென் படம்	நான்கு கணங்களுக்கான எட்வர்ட்சின் வென் படம்
ஐந்து கணங்களுக்கான எட்வர்ட்சின் வென் படம்	ஆறுகணங்களுக்கான எட்வர்ட்சின் வென் படம்

எ. டபிள்யூ. எப். எட்வர்ட்ஸ், கணங்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாகும்போது அவற்றுக்கான வென்படங்களை வரையும் முறையை உருவாக்கினார். சமச்சீர்தோற்றங்களைக் கொண்டதாக அவ்வென் படங்கள் அமைந்துள்ளன. வென் படத்தை ஒரு கோளத்தின் மீது வீழ்த்தி (project) அதில் கிடைக்கக்கூடிய மூன்று செங்குத்தான (x=0, y=0, z=0) அரைக்கோளங்களை, மூன்று கணங்களைக் குறிப்பதற்கும் நடுக்கோட்டிற்கு மேலும் கீழும் வளைந்தோடும் வளைவரையை (டென்னிஸ் பந்து மீதுள்ள வரி போல) நான்காவது கணத்தைக் குறிப்பதற்கும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். இதனால் கிடைக்கும் கணங்களை மீண்டும் தளத்தில் வீழ்த்தினால் அதிக பற்கள் கொண்ட பல் சக்கரப் படங்கள் கிடைக்கும். வென்னின் நினவாக ஒரு வண்ணக் கண்ணாடியை வடிவமைக்கும் போது இந்தப் படங்கள் உருவாக்கப்பட்டன.

ஏனைய படங்கள்

எட்வர்ட்சின் வென் படங்கள் இடவியல் அளவில் கணிதவியலாளர் பிராங்கோ குரூயன்பாம் உருவாக்கிய படங்களுக்கு இணையானதாக அமைந்திருந்தன. பிராங்கோ குரூயன்பாமின் படங்கள் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கக் கூடிய, ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் பலகோணங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. மேலும் அப்படங்கள் மீக்கனசதுரங்களின் (hyper cubes) இருபரிமாண வடிவத்தைக் கொண்டவை.

ஸ்மித் என்பவர் சைன் வளைவரையைப் பயன்படுத்திக் கீழ்க்கண்ட சமன்பாடுகளைக் கொண்டு n-கணங்களுக்கான படங்களை உருவாக்கினார்.

$y_{i}={\frac {\sin(2^{ix})}{2i}}$, இங்கு $0\leq i\leq n-2$ மற்றும் $i\in \mathbb {N}$.

பிரித்தானிய கணிதவியலாளர் சார்லஸ் லுட்விட்ஜ் டாட்சன் 5 கணங்களுக்கான படத்தை உருவாக்கினார்.

இருபதாம் நூற்றாண்டில் வென் படங்கள் மேலும் மேம்படுத்தப்பட்டன. டி. டபிள்யூ. ஹெண்டர்சன் 1963ல் n- மடங்கு சுழற்சி சமச்சீர் உடைய n-வென்படம் இருக்குமானால் n ஒரு பகா எண் எனக் கண்டுபிடித்து விளக்கிக் காட்டினார். மேலும் n = 5, 7 ஆக இருக்கும்போது அத்தகைய சமச்சீர் வென் படங்கள் உண்டு என்பதையும் உறுதிப்படுத்தினார். 2002ல் பீட்டர் ஹம்பர்க் n = 11க்கான சமச்சீர் வென்படங்களைக் கண்டுபிடித்தார். 2003ல் கிர்க்ஸ், கில்லியன், சாவேஜ் மூவரும் ஏனைய அனைத்து பகா எண்களுக்கும் சமச்சீர் வென் படங்கள் உள்ளன என்பதை நிரூபித்தனர். n ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சமச்சீர் வென் படங்கள் வரைய முடியும் என்பது நிரூபணமானது.